§ 96. Запаздывающие и опережающие потенциалы. Калибровочная инвариантность

1. Результаты последнего параграфа позволяют непосредственно написать интегральные выражения потенциалов электромагнитного поля, определяемых дифференциальными уравнениями (94.4) и (94.5).

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (94.6) и (94.8), мы на основании уравнения (95.4) получаем непосредственно:

и аналогичные выражения для так что вектор А выразится формулой

причем, согласно уравнению (94.7),

Пользуясь обозначениями § 95, в частности уравнением (95.5), можно записать уравнения (96.1) и (96.2) следующим образом:

где под нужно понимать произведение

В случае независимости от времени, т. е. в стационарном поле, формулы (96.1) и (96.2), как и следовало ожидать, совпадают с ранее выведенными уравнениями (8.8) (при и (64.3).

2. Итак, чтобы вычислить, например, значение скалярного потенциала в произвольной точке в момент нужно, согласно уравнению (96.1), разбить все пространство на элементы объема и для каждого элемента определить величину того заряда

который находился в нем в момент времени где есть расстояние от Разделив затем этот заряд на и взяв сумму полученных выражений по всем элементам объема, мы и получим Аналогичным способом определяется и значение А.

Таким образом, потенциалы переменного поля определяются совершенно аналогично потенциалам поля стационарного с тем

единственным, но весьма существенным дополнением, что в каждый момент потенциал поля, возбуждаемого на расстоянии от элемента объема зарядами и токами элемента, определяется не одновременной с а предшествовавшей (в момент плотностью этих зарядов и токов. Таким образом, можно сказать, что потенциалы и А зарядов и токов каждого элемента объема распространяются из по всем направлениям со скоростью убывая при этом в интенсивности обратно пропорционально расстоянию Поэтому определяемые уравнениями (96.1) и (96.2) величины и А носят название запаздывающих потенциалов электромагнитного поля.

3. В предыдущем нами еще не было принято во внимание уравнение (94.3), связывающее определенным соотношением возможные значения потенциалов В том, что наши решения (96.1) и (96.2) удовлетворяют и этому уравнению, можно убедиться путем непосредственного вычисления.

В соотношение (94.3) входит При вычислении можно переменить порядок дифференцирования по х, у, z и интегрирования по х, у, z на обратный:

Согласно (435)

Так как аргумент вектора зависит от х, у, z лишь через посредство эффективного времени то

Приняв во внимание, что, согласно уравнению (95.5),

получим окончательно:

С другой стороны, очевидно, что

где V в отличие от V означает дифференцирование по координатам х, у, z. Выполнив простые преобразования, получаем

Приняв теперь во внимание, что уравнение [см. уравнения (8 и (9] в наших теперешних обозначениях принимает вид

и сравнивая выражения для найдем

Стало быть, обозначая через получим из уравнения (96.5):

Первый из этих интегралов может быть преобразован с помощью теоремы Гаусса в интеграл по поверхности охватывающей объем V:

Если распространить интегрирование на все бесконечное пространство, то этот интеграл обратится в нуль, если только все электрические токи сосредоточены в конечной области пространства, так что окончательно

Обратимся теперь к правой части соотношения (96.3). Ввиду уравнения (95.5) для произвольной функции имеем

Поэтому, дифференцируя уравнение (96.3) по времени под знаком интеграла, получим

С другой стороны, уравнение непрерывности можно записать в следующем виде:

ибо при пространственном дифференцировании (образовании дивергенции) время должно считаться постоянным параметром.

Заменяя в этом уравнении непрерывности нештрихованные величины штрихованными (что является простым изменением обозначений), убедимся, что запаздывающие потенциалы действительно удовлетворяют соотношению (94.3)

которое требовалось доказать.

4. Обратимся к вопросу об однозначности найденных нами решений (96.1) и (96.2) системы уравнений

Если не принимать во внимание никаких дополнительных условий, то решения эти необходимо признать неоднозначными. Вспомним хотя бы, что при получении решения (95.4) мы исключили второй член в общем решении (95.2) уравнения (95.1).

Если мы, наоборот, сохранили бы только второй член этого общего решения и исключили первый, то мы могли бы повторить все предшествующие вычисления с единственным отличием, заключающимся в замене всюду аргумента на В результате мы получили бы решение уравнений (94.3)-(94.5) в форме так называемых опережающих потенциалов электромагнитного поля:

связывающих значение потенциала в точке в момент с пространственным распределением зарядов и токов в последующие моменты времени

Далее, так как неоднородные дифференциальные уравнения (94.3)-(94.5), определяющие потенциалы линейны, то общее решение этих уравнений может быть представлено в виде суммы произвольного частного решения этих неоднородных уравнений и общего решения соответствующих однородных уравнений

Как запаздывающие потенциалы (96.1), так и опережающие потенциалы (96.6) являются различными частными решениями неоднородных уравнений поэтому общее решение этих уравнений отличается от них на произвольное решение уравнений (96.7).

Следовательно, в частности, и самые опережающие потенциалы можно представить как сумму запаздывающих потенциалов плюс некоторое решение однородных уравнений (96.7).

Эта неоднозначность решения интересующей нас системы дифференциальных уравнений в соответствии с известным общим правилом может быть устранена только заданием определенных начальных и граничных условий. Только задание этих условий выделяет из бесконечной совокупности решений системы дифференциальных уравнений то единственное решение, которое соответствует данной конкретной постановке физической задачи.

Так, например, можно показать, что общее решение уравнения (94.5) внутри произвольного объема V, ограниченного замкнутой поверхностью может быть представлено в форме

где есть внешняя нормаль к а квадратные скобки означают, что значения находящихся в этих скобках величин должны быть взяты для эффективного момента времени Иными словами, если известны значения величин, входящих в правую часть уравнения (96.8), то этим уравнением значения в произвольной точке объема V определяются однозначно. То же общее решение уравнения (94.5) может быть, однако, представлено также в форме, отличающейся от (96.8), во-первых, знаком у последнего члена подынтегрального выражения поверхностного интеграла и, во-вторых, тем, что значения величин в квадратных скобках должны быть взяты не для предшествующего момента времени а для последующего момента Первая форма решения соответствует запаздывающим потенциалам, вторая — опережающим. В стационарном поле оба решения совпадают с ранее доказанной формулой (12.5).

Таким образом, уравнения электромагнитного поля, подобно уравнениям механики, позволяют определить как будущее по прошлому и настоящему, так и прошлое по настоящему и будущему. Точнее, пусть нам известны значение в объеме V и значения и на поверхности этого объема в промежутке времени от до и пусть нас интересует поле в произвольной точке этого объема Обозначим через расстояние от до наиболее удаленной от нее точки поверхности и через наименьшее из следующих двух расстояний: 1) от до ближайшей точки поверхности и 2) от до ближайшей к точки объема V, в которой плотность заряда была отлична от нуля хотя бы в течение части промежутка времени от до Пусть Тогда, пользуясь запаздывающими потенциалами и формулой (96.8), мы можем определить значение в точке в любой момент «будущего» промежутка времени от до ; пользуясь же опережающими потенциалами и соответственным видоизменением формулы (96.8), мы можем определить в точке в «прошедшем» промежутке времени от до

5. Постановка задач, с которыми приходится встречаться как в теоретической и экспериментальной, так и технической физике,

в большинстве случаев требует применения запаздывающих, а не опережающих потенциалов. Действительно, в большинстве случаев задача заключается в определении поля, возбуждаемого той или иной системой зарядов и токов, причем эту задачу можно уточнить следующим образом (ср. конец § 93). Вплоть до некоторого момента поле либо равнялось нулю, либо было стационарным, причем потенциалы и А удовлетворяли условиям (12.10):

и аналогичным условием для А (46.6). Затем в момент возникли переменные токи, произошло перемещение зарядов, поле которых и требуется определить в момент времени Поле это при этих условиях определяется выражениями (96.1) и (96.2) запаздывающих потенциалов.

Действительно, при определении по формуле (96.8) значения потенциала в момент времени мы можем удалить поверхность на столь большое расстояние от исследуемой точки поля чтобы удовлетворяло неравенству

В этом случае входящим в уравнение (96.8) величинам нужно будет приписать те значения, которыми они обладали до момента возникновения поля в силу чего весь поверхностный интеграл в уравнении (96.8) обратится в нуль.

Таким образом, при указанных условиях решение уравнения (94.4) определяется однозначно и выражается первым членом общего решения (96.8), совпадающим с нашей формулой (96.1). Подобно этому, при этих условиях значение векторного потенциала А также однозначно определяется формулой (96.2).

В дальнейшем по характеру задач, которые мы будем рассматривать, нам придется иметь дело только с запаздывающими, но не с опережающими потенциалами.

6. В предыдущем мы мало обращали внимания на то, что скалярный и векторный потенциалы поля являются лишь вспомогательными понятиями и что непосредственный физический смысл имеют только напряженности электрического и магнитного полей Ведь энергия поля, пондеромоторные силы, плотность токов и т. д. однозначно определяются напряженностями поля (при заданных Поэтому два поля, описываемые одними и теми же значениями но разными значениями потенциалов физически тождественны. Каков же произвол в определении потенциалов и А при заданных напряженностях (или

Пусть и А удовлетворяют уравнениям (94.1) и (94.2):

Так как ротор градиента тождественно равен нулю, то если мы прибавим к А градиент произвольного скаляра

то новому значению векторного потенциала А будет соответствовать прежнее значение магнитной индукции

Если х не зависит от времени, то и значение электрической напряженности не изменится при замене А на Если же х зависит от времени, то значение останется неизменным лишь при условии, что мы одновременно с заменой А на А заменим также и на причем

Действительно, при этом условии

Итак, напряженность и индукция поля остаются неизменными при одновременном прибавлении к векторному потенциалу градиента произвольного скаляра и вычитании из скалярного потенциала деленной на с производной по времени от того же скаляра. Инвариантность поля по отношению к этому классу преобразований потенциалов называется калибровочной или градиентной инвариантностью (по-немецки — Eichinvarianz, по-английски — gauge invariance). В частности, если х не зависит от координат, то калибровочная инвариантность сводится к отмеченной в § 8 возможности прибавления к скалярному потенциалу произвольной аддитивной постоянной (могущей зависеть от времени).

Ранее мы пользовались определенной калибровкой или нормировкой потенциалов, т. е. устраняли произвол в определении потенциалов поля добавочными требованиями. Так, например, на векторный потенциал постоянного магнитного поля мы налагали требование и условия на бесконечности (46.6), на потенциалы переменного поля налагалось условие (94.3) и т. д. Лишь при этих условиях [А выражается интегралом (46.1) в случае постоянного магнитного поля] потенциалы переменного поля удовлетворяют уравнениям Даламбера (94.4) и (94.5) и т. д. Однако ввиду калибровочной инвариантности эти условия отнюдь

не обязательны. Более того, решение отдельных конкретных задач часто облегчается специальной, целесообразной для данной задачи, калибровкой потенциалов, отличной от принятой в этой книге.

Требование калибровочной инвариантности уравнений теоретической физики, т. е. требование, чтобы физическое содержание этих уравнений зависело только от напряженности электромагнитного поля и оставалось неизменным при всех преобразованиях потенциалов поля по формулам (96.9) и (96.10), играет важную роль в электронной и квантовой теориях.