§ 74. Другой вариант уравнений магнитного поля в идеализированных ферромагнетиках. Эквивалентность электрических токов и постоянных магнитов

1. В предыдущем параграфе мы изложили общепринятую теорию постоянных магнитов, согласно которой как активные, так и пассивные характеристики постоянных магнитов (т. е. как

возбуждаемое ими поле, так и силы, испытываемые ими во внешнем магнитном поле) совершенно иначе зависят от магнитной проницаемости среды чем соответствующие магнитные характеристики электрических токов. В настоящем параграфе мы постараемся выяснить смысл и причину этого различия.

Прежде всего нужно отметить, что ряд выводов предыдущего параграфа относился к гипотетическому случаю строго однородной в магнитном отношении среды имеет одинаковое значение во всех точках поля). Ясно, что этот случай не имеет практического значения.

Действительно, проницаемость материала, из которого изготовлены магниты, вообще говоря, отлична от проницаемости окружающей их среды, и, таким образом, условие постоянства во всем поле, вообще говоря, не выполняется. Но даже если бы оно и было выполнено при некотором определенном выборе окружающей магниты среды, то для проверки полученных в § 73 результатов необходимо было бы варьировать проницаемость среды и сравнить напряженность поля, пондеромоторные силы и т. д. в средах различной проницаемости. При этом, однако, проницаемость самих постоянных магнитов оставалась бы по необходимости неизменной, т. е. постоянство во всем поле нарушалось бы.

Итак, необходимо различать гипотетический случай строго однородной среды и практически единственно интересный случай однородности внешней среды (т. е. среды вне магнитов). Поэтому поставленный в начале параграфа вопрос нужно разбить на два вопроса: 1) чем объясняется установленная в § 73 разница между магнитами и токами в строго однородной среде и 2) как зависит поле магнитов и испытываемые ими силы от проницаемости однородной внешней среды?

Рассмотрим эти вопросы по порядку.

2. Установленная в § 73 разница между магнитами и токами в строго однородной среде объясняется попросту тем, что мы, следуя исторически сложившейся традиции (о происхождении которой будет сказано ниже), исходили в § 73 из формулы (73.1):

т. е. предположили, что индуцированное намагничение постоянных магнитов пропорционально напряженности поля в них:

В диа- и парамагнетиках эта формула, очевидно, эквивалентна формуле

однако в постоянных магнитах и эквивалентность

формул (74.1) и (74.2) нарушается. Поэтому, пытаясь установить линейную систему уравнений поля в идеализированных ферромагнетиках, которая при переходила бы в известные уже нам уравнения поля в диа- и парамагнетиках, мы с равным правом могли бы исходить не из (74.1), а из (74.2), т. е. вместо (73.1) положить:

Выбор между (73.1) и (74.3) может быть сделан только на основании более углубленного анализа этих формул, который будет произведен нами несколько позже. Пока же мы рассмотрим вариант уравнений поля, основанный на замене формулы (73.1) формулой (74.3) (мы будем называть его «новым вариантом» в отличие от «обычного варианта»).

Прежде всего в «новом варианте» формула (73.2) заменится формулой

откуда на основании (63.2)

Отличие этой формулы от (73.2) сводится к появлению множителя в последнем члене справа.

Соответственное изменение должно быть внесено также и в формулы (73.3) и (73 6); далее, в уравнениях (73.8) и (73.12) нужно в новом варианте изменить определение объемной и поверхностной плотности постоянных магнитных зарядов и положить

Все же остальные (нумерованные) формулы § 73, за исключением формулы (73 14), как легко убедиться, остаются справедливыми и в новом варианте.

Рассмотрим теперь случай строго однородной среды. В этом случае можно в формулах (74.5) вынести за знак пространственной производной:

Таким образом, в новой формулировке, в отличие от обычной, плотность постоянных магнитных зарядов (при заданном постоянном намагничении пропорциональна проницаемости

Внося (74.6) в (73.15), убеждаемся, что напряженность поля постоянных магнитов (при заданном не зависит от проницаемости (строго однородной) среды, т. е. что прежнее различие в этом отношении между магнитами и токами в новом варианте отпадает.

Наконец, внося (74.6) в (73.16) и допуская, что проницаемость постоянна, если не во всей среде, то хотя бы в тех участках ферромагнетика, в которых отлично от нуля, получаем

Таким образом, в новом варианте силы, действующие на магнитные заряды, определяются (при заданном не напряженностью поля а вектором Таким образом, ввиду независимости от пондеромоторные силы взаимодействия магнитов в строго однородной среде, как и силы взаимодействия токов, прямо пропорциональны т. е. и в этом отношении новый вариант устраняет имевшееся в обычном варианте различие между постоянными магнитами и токами.

3. Какой же из вариантов теории постоянных магнитов следует предпочесть?

Обычный вариант теории может быть охарактеризован либо уравнением (73.1), либо эквивалентным ему уравнением (73.8), согласно которому плотность постоянных магнитных зарядов определяется вектором постоянного намагничения независимо от проницаемости вещества магнита. С другой стороны, новый вариант может быть охарактеризован либо уравнением (74.3), либо эквивалентным ему уравнением (74.5), согласно которому при постоянном 10, изменяется пропорционально проницаемости магнита.

Если бы существовал способ, сохраняя неизменным постоянное намагничение изменять проницаемость вещества, из которого изготовлен данный магнит, то можно было бы экспериментально установить, какой из вариантов теории соответствует действительности. Так как, однако, такого способа нет, то различие между обоими вариантами является чисто терминологическим: ведь все отличие второго варианта от первого сводится к замене уравнения (73.2): уравнением (74.4): Так как, по определению, значения в каждой точке постоянного магнита постоянны во времени, то никакие доступные экспериментальной проверке выводы теории не могут зависеть от того, будет ли разность обозначена через или через

4. Итак, установленная в § 73 разница между зависимостью активных и пассивных характеристик магнитов и токов от проницаемости строго однородной среды носит, в сущности, терминологический характер. Терминология обычного варианта теории заимствована из теорий магнетизма XIX в., исходивших из представления о существовании реальных магнитных зарядов в молекулах магнетика и о взаимодействии этих зарядов по закону Кулона, и вполне соответствует этим представлениям. Терминология же «нового варианта» соответствует современным представлениям о природе магнетизма. Сказывается это, во-первых,

в том, что она устраняет неоправданное терминологическое различие между зависимостью от активных и пассивных характеристик магнитов и токов; во-вторых, она связывает постоянство намагничения не с постоянством фиктивных зарядов а с постоянством тех молекулярных токов которыми это намагничение обусловлено.

Действительно, согласно современным представлениям, постоянное намагничение должно обусловливаться постоянными молекулярными токами, (средняя) плотность которых связана с 10 соотношением [см. уравнения (61.9) и (61.10)]:

Воспользовавшись уравнениями (74.8) и (74.4), получаем

Следовательно, согласно новому варианту, постоянные молекулярные токи совершенно равноправны токам проводимости

Замена же уравнения (74.3) уравнением (73.1), т. е. переход к обычному варианту, нарушает это равноправие, а именно, в этом случае последнее уравнение заменяется следующим:

Вообще нужно отметить, что хотя и в новом варианте можно оперировать с фиктивной плотностью магнитных зарядов однако рациональной характеристикой постоянных магнитов в этом варианте, в отличие от обычного, являются не и а распределение постоянных молекулярных токов Зная это распределение, можно определить магнитное поле постоянного магнита с помощью формулы (74.8) и испытываемые магнитом пондеромоторные силы с помощью формулы:

Эквивалентность этого последнего соотношения формуле (73.16), которой мы пользовались до сих пор, будет доказана в следующем параграфе.

5. Тогда как весь вопрос о магнитах и токах в строго однородной среде носит чисто формальный характер, вопрос об активных и пассивных характеристиках магнитов и токов в однородной внешней среде, к которому мы теперь перейдем, имеет непосредственное физическое содержание, и ответ на него доступен экспериментальной проверке. Отметим, что ответ на этот последний вопрос будет совершенно одинаковым в обычном и в новом варианте теории

Рассмотрим сначала постоянный магнит из однородного материала проницаемости помещенный в однородную внешнюю среду проницаемости Легко убедиться, что никакой однозначной функциональной зависимости напряженности поля магнита во внешней среде от проницаемости этой среды не существует и что зависимость эта определяется геометрической формой магнита.

Рассмотрим, в частности, равномерно намагниченный эллипсоид — это один из немногих случаев, в которых удается найти замкнутое аналитическое выражение для поля магнита. Для наших целей достаточно рассмотреть эллипсоид вращения, намагниченный параллельно оси симметрии. Обозначим длину главных осей эллипсоида через и пусть Можно показать, что напряженность Не поля такого магнита в произвольной точке внешней среды следующим образом зависит от

где вектор от не зависит, а постоянная и зависит только от отношения осей эллипсоида:

Этот результат легко получить, воспользовавшись решением задачи о поле равномерно намагниченного эллипсоида, которое можно найти в ряде курсов математической физики или теории потенциала. Мы приведем это решение без доказательства. Поместим начало декартовых координат в центр эллипсоида и направим ось х по оси симметрии эллипсоида, т. е. по направлению намагничения. Скалярный потенциал магнитного поля эллипсоида внутри эллипсоида будет равен

где а — константа, а потенциал вне эллипсоида равен

где константа, а — функция координат х, у, z, определяемая уравнением

Исходя из этого выражения, для можно показать, во-первых, что на поверхности эллипсоида

где константа и определяется уравнением (74 11), и, во-вторых, что на поверхности эллипсоида производная по нормали к этой поверхности равна

Непрерывность касательных, слагающих напряженности магнитного поля на поверхности эллипсоида, эквивалентна непрерывности потенциала на этой поверхности, что дает

Далее непрерывность нормальной слагающей магнитной индукции В на той же поверхности, ввиду (73.2), выражается уравнением

Так как то, воспользовавшись приведенным выражением для и сокращая на получаем

Исключая, наконец, из двух полученных уравнений постоянную а, получаем

Так как а стало быть, и зависят от только через посредство коэффициента 0, то формула (74 10) доказана.

Интеграл (74.11) выражается в элементарных функциях, а именно: при

где

где .

Для наших целей достаточно рассмотреть три случая.

1) Эллипсоид вытянут, и его ось симметрии гораздо длиннее двух других осей: иными словами, магнит представляет собой длинный тонкий стержень. В этом случае значение и очень мало множитель знаменателе формулы (74.10) очень велик и Не в первом приближении обратно пропорционально

2) Эллипсоид вырождается в шар: в этом случае (который будет также непосредственно рассмотрен в задаче 34 в конце

этого параграфа) и формула (74.10) принимает вид

3) Наконец, эллипсоид сплюснут и его ось симметрии гораздо короче двух других осей иными словами, магнит представляет собою плоский диск, намагниченный перпендикулярно плоскости симметрии. В этом случае значение и близко к единице множитель в формуле (74.10) очень мал, и Не в первом приближении вовсе не зависит от

Таким образом, форма магнита играет решающую роль и никакой универсальной зависимости поля магнита от проницаемости внешней среды не существует. Часто встречающееся утверждение, что напряженность поля магнита обратно пропорциональна справедливо только для длинных стержнеобразных магнитов. Магниты же дискообразные аналогичны электрическим токам в том отношении, что напряженность их поля во внешней среде практически от ее проницаемости не зависит.

Все сказанное о постоянных магнитах справедливо, очевидно, и для электромагнитов с магнитным сердечником, — ведь молекулярные токи, обусловливающие постоянный магнетизм, создают поле по тому же закону, как и токи проводимости, а для применимости предшествующих рассуждений существенно лишь, чтобы проницаемость материала, по поверхности которого циркулируют токи, оставалась неизменной при изменениях

Иначе обстоит дело с полем линейного контура тока или полем (открытого) соленоида. В этом случае внешняя среда заполняет пространство между витками тока, и напряженность магнитного поля в ней от ее проницаемости практически не зависит (как и в случае строго однородной среды). Действительно, в этом случае замкнутые (либо винтообразные — см. § 53) силовые линии магнитного поля в основной своей массе располагаются целиком в однородной внешней среде. При намагничении среды магнитные диполи этой среды, ориентируясь по направлению поля, будут образовывать замкнутые (или лишенные начала и конца винтообразные) цепочки, вследствие чего заряды смежных диполей будут взаимно нейтрализоваться. Подобное намагничение среды, очевидно, не вызовет изменения поля.

Напротив, при наличии сердечника практически каждая магнитная силовая линия пересекает поверхность раздела между сердечником и внешней средой. Скачок намагничения на этой поверхности эквивалентен появлению на ней индуцированных

поверхностных магнитных зарядов [см. (73.12)] плотности

где восприимчивости внешней среды и магнита. Поле этих индуцированных зарядов, очевидно, видоизменяет результирующее поле тока.

6. Нам остается рассмотреть зависимость пассивных характеристик магнитов и токов от проницаемости однородной внешней среды. В следующем параграфе будет показано, что силы, действующие на источник магнитного поля (магнит и ток) в заданном внешнем магнитном поле индукции В, могут быть однозначно определены, если известно «собственное» поле возбуждаемое этим источником. Поэтому силы при заданной индукции внешнего поля В изменяются при изменениях так же, как и собственное поле Таким образом, к пассивным характеристикам магнитов и токов непосредственно применимо все сказанное об их активных характеристиках. В частности, никакой универсальной зависимости как пассивных, так и активных характеристик магнитов и токов от проницаемости однородной внешней среды не существует. Никакой разницы в этом отношении между постоянными магнитами и электромагнитами с сердечниками также нет: если эти магниты имеют удлиненную стержнеобразную форму, то действующая на них сила определяется напряженностью внешнего поля (т. е. обратно пропорциональна при заданном В); если же они имеют дискообразную форму, то действующая на них сила определяется индукцией внешнего поля В (т. е. при заданном В от не зависит). Последний случай имеет место также для линейных токов и электромагнитов без сердечника.

Вместе с тем становится понятным обычное утверждение, что, измеряя магнитное поле по величине пары сил, действующих на помещенную в него магнитную стрелку или же на петлю тока, мы в первом случае (удлиненный стержень) измеряем напряженность поля а во втором — его индукцию В.

Задача 34. Определить поле равномерно намагниченного постоянного магнита сферической формы в однородной внешней среде проницаемости