§ 106. Пример неквазистационарных токов: волны вдоль кабеля

1. В гл. VI мы подробно рассмотрели свойства квазистационарных переменных токов. Теперь же рассмотрим на частном примере свойства быстропеременных токов, к которым теория, изложенная в гл. VI, вовсе неприменима Это рассмотрение мы будем вести методом последовательных приближений, основанным на учете следующего обстоятельства.

Как мы убедились в § 90, быстропеременные токи практически полностью сосредоточиваются на поверхности проводников (скин-эффект) в слое толщины

где циклическая частота тока, электропроводность проводника.

Той же величиной определяется и глубина проникновения переменного поля в толщу металла. Так как при возрастании толщина стремится к нулю, то при рассмотрении токов высокой частоты можно в первом приближении положить т. е. считать токи поверхностными, что чрезвычайно облегчает решение задачи. В частности, плотность поверхностного тока однозначно определяется в этом приближении тангенциальными слагающими магнитного поля внешней поверхности проводника, ибо поле внутри проводника при равно нулю, и пограничное условие (V) (§ 91, с. 425) принимает поэтому вид

где внешняя нормаль к поверхности проводника.

Однако в этом первом приближении вовсе не учитываются потери энергии тока на джоулево тепло: пренебрегая проникновением поля внутрь проводника, мы тем самым пренебрегаем выделением в нем джоулева тепла

Можно сказать, что в этом первом приближении проводник считается идеальным, т. е. обладающим бесконечно большой проводимостью А, или, иными словами, что в этом приближении пренебрегается сопротивлением проводника, а вместе с тем и потерями на джоулево тепло. Действительно, при обращается в нуль как толщина 5, так и джоулево тепло что будет видно из второго приближения.

Так как в конкретных задачах, встречающихся в экспериментальной и технической физике, потери на джоулево тепло

отнюдь не малы и пренебрегать ими никак нельзя, то необходимо после решения первого приближения перейти ко второму. В этом втором приближении для поля вне проводников принимаются значения, полученные в первом приближении; эти значения служат граничными условиями для определения поля внутри проводников, определив которое, можно найти и выделяемое токами джоулево тепло, а вместе с тем и затухание волн вдоль проводников.

2. В качестве конкретного примера рассмотрим быстропеременные токи в кабеле, состоящем из двух коаксиальных цилиндрических проводников: внешнего полого, радиус внутренней поверхности которого пусть равен и внутреннего сплошного — радиуса (рис. 87).

Рис. 87

Предположим, что пространство между этими проводниками заполнено однородной непроводящей средой, обладающей диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью В первом приближении пренебрежем сопротивлением кабеля, т. е. будем считать проводники кабеля идеальными. Тогда внутри проводников переменное поле будет равно нулю и все токи полностью сосредоточатся на поверхности проводников. При этих условиях поле во внутренней полости кабеля будет, очевидно, совершенно независимым от поля во внешнем пространстве.

Введем цилиндрическую систему координат в которой ось z направлена по оси кабеля, а и а суть полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Ввиду предполагаемой аксиальной симметрии кабеля поле в нем также будет аксиально симметричным, т. е. напряженности поля и плотность поверхностных токов от полярного угла а зависеть не будут. По той же причине направление токов в кабеле должно совпадать с направлением его оси

Следовательно, пограничное условие (106.2) примет вид

где соответственно плотности поверхностных токов на первом и втором цилиндрах, а внешние нормали к их поверхностям. Легко убедиться, что эти уравнения могут быть

записаны в следующей форме:

Далее, из пограничных условий и (III) и из допущения, что переменное поле внутрь проводников не проникает, следует, что у поверхности этих проводников

Наконец, из пограничного условия (IV) следует, что

Условия (106.4) и часть условий (106.3) будут удовлетворены, если предположить, что во всем пространстве между обкладками кабеля отличны от нуля лишь радиальная слагающая вектора и азимутальная слагающая На вектора Найдя соответствующее решение уравнений Максвелла, мы ввиду однозначности этих уравнений можем быть уверены, что это решение и есть единственное искомое решение рассматриваемой проблемы.

3. Итак, положим, что

где есть циклическая частота тока, а функции зависят лишь от но не от

Пользуясь формулами (22 и (32, выражающими дивергенцию и ротор произвольного вектора а в цилиндрической системе координат, убеждаемся, что выражения (106.6) тождественно удовлетворяют третьему уравнению Максвелла

(по предположению, суть величины постоянные) и что уравнение Максвелла (IV) принимает вид

откуда

где есть функция одной лишь координаты 2. Далее, внося выражение (106.6) в основные уравнения (I) и (II):

получим по сокращении на

Остальные же три уравнения для слагающих, соответствующие векторным уравнениям (I) и выражениями (106.6) удовлетворяются тождественно.

Из уравнений (106.83) и (106.81) получим

Введя, согласно уравнению (100.4), обозначение

и приняв во внимание уравнение (106.7), получаем

откуда

где произвольные постоянные интегрирования.

Внося это в уравнения (106.6) и (106.7), получаем окончательно

Первый член этого выражения представляет собой волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z, а второй — волну, распространяющуюся в обратном направлении. Волны эти независимы друг от друга, так что мы можем ограничиться рассмотрением лишь одной из них, например первой, т. е. положить и

Внося это выражение в уравнение (106.83), получим после простых преобразований

Это выражение, как легко видеть, удовлетворяет также и первым двум уравнениям (106.8).

Нам остается еще выяснить связь между напряженностью волнового поля в кабеле и плотностью поверхностных зарядов

и токов на его обкладках. Внося выражения для и в уравнения (106.3) и (106.5), получим

Переходя к вещественным частям комплексных выражений и приняв во внимание, что общая сила токов и протекающих по поверхности цилиндрических проводников кабеля, равна произведению поверхностной плотности тока на окружность проводника, получим окончательно

Таким образом, в каждый данный момент в каждом сечении кабеля силы токов, протекающих по внутреннему и внешнему проводникам кабеля, равны по величине и противоположны по знаку (т. е. по направлению).

Подобным же образом найдем, что величина зарядов и приходящихся на единицу длины цилиндрических проводников кабеля, равна

4. Итак, в пространстве между обкладками кабеля распространяются электромагнитные волны, свойства которых во многих отношениях совпадают со свойствами рассмотренных нами в § 99, 100 волн шаровых и волн плоских. Действительно, из приведенных выражений следует, что векторы взаимно перпендикулярны, перпендикулярны к направлению волны и образуют с этим направлением правовинтовую систему. Далее, значения этих векторов удовлетворяют уравнению (100.10), энергия поля — уравнению (100.11) и т. д. Наконец, скорость распространения волн в кабеле удовлетворяет ранее установленному уравнению (100.6)

т. е. определяется свойствами непроводящей среды, заполняющей пространство между обкладками кабеля.

Таким образом, проводники, образующие кабель, играют, в сущности, лишь роль направляющих поверхностей, определяющих направление распространяющейся в диэлектрике волны и препятствующих рассеянию электромагнитной энергии в окружающее пространство: при распространении волны вдоль кабеля ее амплитуда не уменьшается, и следовательно, вся энергия

волны передается вдоль кабеля без потерь (ведь сопротивлением кабеля мы пренебрегли). Роль направляющей поверхности в известной мере может играть не только кабель, но и обыкновенный одножильный провод, что технически используется, например, при телеграфировании по проводам токами высокой частоты.

5. Перейдем теперь ко второму приближению, учитывающему проникновение поля в проводники кабеля. Впрочем, практический интерес представляют не точные значения поля в проводниках кабеля, а только потери энергии и затухание волны при ее распространении вдоль кабеля, рассмотрением которых мы и ограничимся.

Если толщина проводящего ток слоя [уравнение (106.1)] много меньше радиуса кабеля то кривизна поверхности проводников кабеля не будет сказываться на распределении токов в проводящем слое. Поэтому мы можем воспользоваться результатами § 90, относящимися к случаю плоской поверхности проводника. Согласно (90.7),

где означает амплитуду объемной плотности тока на поверхности проводника координату, направленную нормально в глубь проводника Если заменить это объемное распределение токов поверхностным, то плотность эквивалентного поверхностного тока нужно, очевидно, положить равной

где мы распространили интегрирование до ибо при больших плотность тока благодаря фактору исчезающе мала. Таким образом, амплитуда эквивалентного поверхностного тока равна

Далее, вычисляя количество джоулева тепла, выделяемого за единицу времени в поверхностном слое проводника площадью в и усредняя найденное значение по периоду поля, получим

или, выражая через

Эта формула выражает тепловые потери в быстропеременных полях через амплитуду поверхностной плотности тока, для определения которой достаточно решить задачу о распространении волн вдоль проводников в первом приближении, считая проводники идеальными. В частности, из (106.12) непосредственно вытекает формула (90.16) для омического сопротивления цилиндрического провода быстропеременным токам.

6. В случае кабеля определяется формулами (106.11) и, например, на внутренней поверхности кабеля равно

Следовательно, на единице длины внутреннего проводника кабеля, поверхность которой составляет выделяется за единицу времени теплота

где индекс означает, что эти величины относятся к внутреннему проводнику.

Аналогичное выражение получается и для теплоты выделяемой во внешнем проводнике кабеля, так что полная величина тепловых потерь на единицу длины кабеля равна

Подсчитаем теперь средний за период поток энергии переносимый волной за единицу времени через сечение кабеля:

где означает составляющую вектора Пойнтинга и где учтено, что в первом приближении, согласно (106.6),

Переходя при определении произведения к действительным частям комплексных выражений (106.9) и (106.10), получаем

Поэтому

В первом приближении, как мы видели, амплитуда волны оказывается постоянной, так что волна при распространении не затухает. Однако тепловые потери должны вызвать затухание волны, т. е. должны повести к зависимости ее амплитуды от . Эта зависимость может быть определена из того факта, что выделяемая за единицу времени на отрезке кабеля длины теплота должна равняться разнице потоков энергии через два сечения кабеля, ограничивающие этот отрезок:

или

Внося в это соотношение значения из (106.13) и (106.14), получаем после простых преобразований и после подстановки значений (106.1) постоянных

где

Таким образом, при учете тепловых потерь амплитуда распространяющейся вдоль кабеля волны затухает по закону

где постоянная.

Заметим, что полученное нами приближенное выражение (106.16) для коэффициента затухания совпадает в предельном случае больших частот с результатом точного, математически очень сложного, решения задачи.

7. Согласно (106.16), коэффициент затухания волн пропорционален квадратному корню из их частоты. Поэтому, например, при передаче речи на большие расстояния по телефонным проводам речь искажается, так как отдельные ее гармоники (отдельные члены разложения звука в ряд Фурье по синусоидальным функциям времени) передаются с разной интенсивностью. Об этом см. также § 107, с. 520.

Из (106.16) следует, что если радиус внутренней поверхности внешнего проводника кабеля существенно превышает радиус внутреннего проводника, то коэффициент затухания

в значительно большей степени зависит от электропроводности этого внутреннего проводника, чем от электропроводности внешнего проводника кабеля. Однако это справедливо лишь при условии

Как раз обратное соотношение имеет место, например, в случае погруженного в море одножильного изолированного провода (морской кабель), когда роль внешнего проводника играет морская вода. Так как электропроводность морской воды несравненно меньше электропроводности металлов, то затухание волн высокой частоты в одножильном морском кабеле целиком определяется электропроводностью воды и практически не зависит от электропроводности металлического проводника.