§ 95. Решение волнового уравнения и уравнения Даламбера

1. Мы не станем здесь излагать классических, вполне строгих с математической точки зрения способов решения этих уравнений, а воспользуемся гораздо более простыми рассуждениями, не отличающимися, правда, особой математической строгостью и носящими, в сущности, лишь наводящий характер. Проверив, однако, найденное решение подстановкой его в исходные уравнения и доказав однозначность этих решений, мы тем самым сообщим этому решению полную достоверность.

Чтобы найти решение уравнения Даламбера (94.8), предположим сначала, что любом равно нулю во всех точках поля, за исключением лишь исчезающе малой области вокруг некоторой точки в которой х равно заданной функции времени Для краткости мы будем при этом говорить, что х отлично от нуля лишь в самой точке которую можно называть истоком поля. Таким образом, вне этой точки должно удовлетворять волновому уравнению (94.9).

Поставим себе, прежде всего, задачу найти сферически-симметричное решение этого волнового уравнения, т. е. такое его решение, которое в полярной системе координат, имеющей центр в зависит лишь от радиуса-вектора но не от полярного и долготного углов 1? и а. В этом случае определяется уравнением вида (21, так что волновое уравнение (94.9) принимает вид

Умножая его на получим

или

где нами временно введено обозначение

Общий интеграл уравнения (95.1) имеет, как известно, вид

где суть произвольные (но обладающие производными) функции указанных в скобках аргументов.

2. Легко убедиться, что первый член этого выражения представляет собой шаровую волну, распространяющуюся из центра координат со скоростью Действительно, функция имеет в каждый данный момент на каждом данном расстоянии от точки то же значение, которым она обладала в момент на расстоянии от А это и значит, что значения величины и распространяются из точки источника поля в виде шаровой волны скорости

Подобным же образом можно убедиться, что второй член выражения (95.2) представляет собой шаровую волну той же скорости приходящую из бесконечности и сходящуюся в истоке поля как в фокусе.

В этом параграфе и в первой половине следующего мы ограничимся рассмотрением первого члена общего решения (95.2), т. е. положим

вопрос же о том, в каких случаях целесообразно вводить в рассмотрение второй член этого общего решения, будет обсужден во второй половине § 96.

Если в соответствии с § 94 понимать под потенциал (скалярный или векторный) электромагнитного поля, то под определяемой уравнением (95.3) величиной нужно понимать потенциал поля, возбуждаемый зарядом или током, находящимся в точке Согласно (95.3) значения потенциала зарядов и токов, находящихся в распространяются из этой точки в форме шаровой волны скорости амплитуда которой убывает обратно пропорционально расстоянию.

3. Формула (95.3) не может быть справедливой во всех точках пространства, ибо при она обращается в бесконечность, т. е. теряет смысл. Кроме того, при искомая функция должна удовлетворять не волновому уравнению, а уравнению Даламбера.

Чтобы найти решение этого уравнения, вспомним решение аналогичной проблемы электростатики. Вне электрических зарядов электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа сферически-симметрическое решение которого аналогично выражению (95.3). Полное решение электростатической проблемы, т. е. решение уравнения Пуассона может быть получено суммированием сферически-симметрических решений уравнения Лапласа в форме интеграла

причем интеграл этот сохраняет конечное значение во всех точках пространства. Ввиду аналогии между уравнениями Лапласа и волновым, с одной стороны, и уравнениями Пуассона и Даламбера

с другой, можно ожидать, что решение последнего уравнения выразится суммой решений типа (95.3), причем ввиду аналогичной роли функций можно предположить, что

В этом случае потенциал поля, возбуждаемый «зарядом» бесконечно малого элемента объема выразится формулой

совпадающей по виду с выражением (95.3) и аналогичной соответствующей формуле электростатики

В том, что выражение (95.4) действительно является решением уравнения Даламбера (94.8), можно убедиться непосредственной подстановкой уравнений (95.4) в уравнение (94.8) (см. ниже).

Пусть х, у, z суть координаты точки в которой мы разыскиваем значение функции текущие координаты произвольно расположенного элемента объема расстояние точки от Введем обозначение

и будем называть эффективным временем в по отношению ко времени в Тогда формулу (95.4) можно будет записать следующим образом:

где под нужно понимать произведение

4. Прежде чем проверять подстановкой решение (95.6), проведем аналогичное вычисление для более простого случая: подставим в уравнение Пуассона его решение

полученное нами в § 12 математически безупречным образом.

При вычислении можно дифференцировать по переменным х, у, z под знаком интеграла, взятого по х, у, z при условии, что вторые производные подынтегрального выражения конечны и непрерывны во всей области интегрирования. Если в точке наблюдения и в конечной области вокруг этой точки

плотность заряда равна нулю, то это условие выполняется остается конечным во всей области интегрирования), и мы можем дифференцировать под знаком интеграла. Ввиду независимости от координат х, у, z точки наблюдения в этом случае получаем в соответствии с уравнением Пуассона:

ибо, согласно уравнению (11.10),

Если же в точке отлично от нуля, то при вычислении можно выполнить под знаком интеграла только одно, а не два последовательных дифференцирования. Мы воспользуемся уравнением (11.2)

и, выполнив первое дифференцирование под знаком интеграла, получим

где вектор, проведенный из точки х, у, z в точку наблюдения х, у, z. Далее, на основании (18 можно выразить дивергенцию в форме поверхностного интеграла

где, по определению, поверхность объема V должна охватывать ту точку наблюдения в которой определяется значение В нашем случае стало быть,

Вычисляя поверхностный интеграл, получим, меняя порядок интегрирования по и по

где вектор, проведенный из точки х, у, z к элементу поверхности Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность был вычислен нами в § 3; он равен или нулю в зависимости от того, лежит ли точка истока х, у, z вектора внутри или вне объема V, охватываемого этой поверхностью Следовательно,

где интегрирование должно быть, очевидно, распространено по объему V, охватываемому поверхностью Следовательно,

где есть значение в центре объема V, т. е. в той точке наблюдения в которой мы определяем значение величины Таким образом, мы доказали, что выражение (95.7) для действительно удовлетворяет уравнению Пуассона.

5. Приступим теперь к проверке формулы (95.6). Прежде всего, выделим около точки наблюдения некоторый маленький объем например сферу радиуса с центром в и разобьем интеграл выражения (95.6) на два интеграла: по объему сферы который мы в дальнейшем будем стремить к нулю, и по остальному «внешнему» пространству:

Во втором из этих интегралов расстояние превышает конечную величину стало быть, мы можем непосредственно дифференцировать под знаком интеграла. Так как функция

удовлетворяет, согласно уравнению (95.3), волновому уравнению (94.9), то

Далее,

при безграничном уменьшении радиуса сферы интеграл этот стремится, очевидно, к нулю, ибо есть величина конечная, а

Таким образом, левая часть волнового уравнения сводится к

Далее,

При безграничном уменьшении сферы интеграл первого члена в скобках стремится к нулю, так что его можно сразу отбросить. Таким образом,

При переходе к пределу, когда как сфера так и поверхность становятся бесконечно малыми, можно пренебречь зависимостью функции от от расстояния между точкой х, у, z объема и элементом поверхности и приравнять в аргументе этой функции х нулю. Функцию же можно вынести за знак поверхностного интеграла.

Таким образом, мы приходим к выражению только что рассмотренного типа (предполагаем, что поверхность целиком лежит внутри сферы

откуда на основании (95.8) следует:

что и требовалось доказать.

Вопроса об однозначности решения уравнения Даламбера мы коснемся в следующем параграфе.