§ 68. Механизм намагничения магнетиков. Теорема Лармора

1 До сих пор мы не делали никаких специальных предположений о механизме намагничения магнетиков, и, помимо совершенно общих положений теории магнетизма, основывались только на том факте, что намагничение диа- и парамагнетиков пропорционально напряженности магнитного поля в них. Теперь же мы рассмотрим в общих чертах самый механизм намагничения различных тел, что позволит нам выяснить причину разных знаков намагничения в диа- и парамагнетиках, установить связь между магнитной восприимчивостью и атомистическим строением магнетика и т. д.

Всякая теория атомарных явлений и процессов должна основываться на квантовой механике. В явлениях же намагничения специфические квантовые закономерности играют по ряду причин еще гораздо более существенную роль, чем, например, в явлениях поляризации диэлектриков. Прежде всего, последовательная электронная теория с неизбежностью приводит в рамках классической физики к выводу, что намагничение любого тела всегда должно равняться нулю! (см. § 71). Далее, если даже сделать чуждое классической физике допущение о дискретности возможных состояний движения электронов в атомах и молекулах (см. § 71), то все же этого оказывается недостаточно для объяснения ферромагнитных явлений

Однако изложение квантовой теории выходит за рамки этой книги. Поэтому мы при рассмотрении механизма намагничения принуждены будем в основном исходить из полуклассических — полуквантовых представлений воровской теории атома, позволяющих качественно ориентироваться в ряде интересующих нас явлений.

2. Рассмотрим простейший случай намагничения одноатомных газов и пренебрежем пока спином электронов В отсутствие внешнего магнитного поля электроны в каждом атоме находятся в некотором определенном состоянии движения. При внесении магнетика в магнитное поле движение электронов изменится, ибо на них начнет действовать лоренцева сила (45.3):

Согласно теореме Лармора, которую мы сейчас докажем, это изменение движения электронов в первом приближении сводится к наложению на невозмущенное движение электронов добавочного вращения («прецессии») всех электронов вокруг направления магнитного поля с угловой скоростью

где есть заряд электрона его масса. Иными словами, если ввести вспомогательную систему координат с центром в ядре атома, вращающуюся с угловой скоростью о вокруг проходящей через ядро оси, совпадающей по направлению с то по отношению к этой системе движение электронов при наличии поля будет в первом приближении таким же, каким оно было при отсутствии поля по отношению к инерциальной (неподвижной) системе координат

Действительно, ввиду симметрии кулоновского поля ядра взаимодействие электронов с ядром не будет видоизменено их добавочной прецессией. Также не изменится и взаимодействие электронов друг с другом, ибо общая прецессия электронов не изменит их относительного расположения. Однако поскольку система вращается, постольку для поддержания прежнего движения электронов в ней уже не будет достаточно тех сил, которые поддерживали это движение в инерциальной системе координат; необходимо будет еще уравновесить силы инерции, а именно — силы центробежные и силы Кориолиса.

Центробежная сила пропорциональна произведению расстояния электрона от оси вращения на квадрат угловой скорости , т. е., согласно (68.2), пропорциональна квадрату напряженности поля Поэтому в первом приближении, в котором учитываются только величины, пропорциональные первой степени поля центробежными силами можно пренебречь.

Кориолисова же сила, приложенная к электрону где есть число электронов в атоме), пропорциональна первой степени и равна

где есть («относительная») скорость электрона во вращающейся системе связанная с его («абсолютной») скоростью в инерциальной системе соотношением

где есть расстояние электрона от оси вращения. С точностью до членов второго порядка относительно можно в выражении для заменить на

Внося сюда значение о из (68.2), получаем

что равно с обратным знаком лоренцевой силе (68.1), действующей на электрон. Таким образом, лоренцева сила (68.1) действительно уравновешивается кориолисовой силой (с точностью до членов второго порядка относительно

Итак, мы доказали, что при наличии поля возможно прежнее движение электронов в атоме, видоизмененное лишь общей их прецессией с угловой скоростью о. Чтобы полностью доказать теорему Лармора, следовало бы еще показать, что эта возможность действительно осуществляется при (достаточно медленном) включении поля Мы примем на веру это утверждение, доказательство которого излагается в теории атома, но зато приведем еще другой вывод формулы Лармора (68.2); при этом мы попутно получим ряд формул, которые понадобятся нам в дальнейших параграфах.

3. Для всякой системы частиц, движущихся в центральном поле сил, справедлив закон сохранения момента количества движения. В частности, суммарный момент количества движения электронов относительно атомного ядра, равный

остается в отсутствие внешних полей постоянным во времени (взаимодействие электронов друг с другом не нарушает постоянства К). Здесь есть расстояние электрона от ядра, а его скорость.

С другой стороны, выражение (57.4) магнитного момента атома

может быть преобразовано следующим образом. Микроскопическая плотность тока в каждой точке пространства может быть выражена через микроскопическую объемную плотность зарядов в этой точке и через их скорость

Действительно, очевидно, параллельно или антипараллельно скорости зарядов в зависимости от знака Далее, через перпендикулярную к единичную площадку проходят все заряды, расположенные в цилиндре высоты построенном на этой площадке как на основании, откуда и следует (68.4). Внося (68.4) в выражение для получаем

С точки зрения боровской теории атома, эту формулу, выведенную, строго говоря, для замкнутых постоянных токов, можно применить к усредненному по времени движению электронов по орбитам внутри атома. При этом можно с достаточной точностью считать значение произведения одинаковым во всех точках каждого отдельного электрона и, стало быть, можно вынести его за знак интеграла:

где есть заряд электрона. В случае наличия в атоме нескольких электронов соответственно получим

Сравнивая это выражение с уравнением (68.3), убеждаемся, что механический момент вращения электронов К пропорционален

магнитному моменту создаваемому движением электронов по орбите:

причем направлено прямо противоположно К, ибо коэффициент пропорциональности

отрицателен, так как заряд электрона

4. В отсутствие внешних полей, как уже упоминалось, механический момент атома К, а стало быть, и пропорциональный ему магнитный момент атома постоянны во времени. При наличии же внешнего магнитного поля на атом действует пара сил, момент которой равен [уравнения (56.7)]:

Если бы атом не обладал моментом количества движения, то под воздействием этой пары сил его магнитная ось стремилась бы установиться по направлению поля Однако наличие момента количества движения К делает атом подобным в механическом отношении вращающемуся волчку (гироскопу). Известно, что если на вращающийся волчок начинает действовать пара сил, момент которой перпендикулярен к оси волчка, то ось эта начинает прецессироватъ вокруг направления сил, причем угол наклона оси к направлению сил не изменяется (ср. прецессию тяжелого волчка в поле сил тяжести).

Действительно, согласно известной теореме механики, под воздействием пары сил момента конечная точка вектора момента количества движения К материальной системы перемещается с линеинои скоростью равной

Внося сюда значение из уравнения (68.7), получим

Поскольку, согласно (68.2) и (68.8),

мы можем также написать

Из этого уравнения следует, что вектор К, а значит, и будут вращаться около направления о с угловой скоростью о, или,

иными словами, будут вращаться с угловой скоростью, определяемой по величине и направлению вектором о. Это значит, что при возникновении магнитного поля электронная оболочка атома начинает прецессировать вокруг направления поля с угловой скоростью о, причем угол наклона магнитной оси атома к направлению поля остается неизменным.

Так, например, если мысленно заменить совокупность внутриатомных токов линейным плоским замкнутым током (соответствующим в боровской теории орбите электрона), то вектор К будет перпендикулярен плоскости этого тока (плоскости орбиты) и прецессия этого вектора будет соответствовать прецессии плоскости тока (орбиты) с той же угловой скоростью о (рис. 66; нанесенный на рисунке вектор будет рассмотрен в § 69).

Рис. 66

В этом и заключается содержание теоремы Лармора, которую мы, таким образом, доказали двумя различными способами. Недостаток второго доказательства состоит в том, что оно неприменимо к атомам, результирующий магнитный момент которых в отсутствие внешнего поля равен нулю.

5. Все изложенное в этом параграфе строго применимо к изолированным атомам газообразных магнетиков. Однако качественно результаты этого параграфа применимы во всех тех случаях, когда электронная оболочка атомов или ионов может более или менее свободно вращаться вокруг ядра атома. Если электронная оболочка атома или иона обладает сферической симметрией (как, например, у атомов благородных газов или ионов с тем же числом электронов, как у благородных газов), то свободное вращение этой оболочки может иметь место и в жидких и в твердых телах.

Во всяком случае, опыт показывает в соответствии с более точной (чем излагаемая нами) теорией, что основные результаты § 68-70 с достаточной степенью точности применимы как к многоатомным газам, так и ко многим жидким и твердым пара- и диамагнетикам.