§ 111. Конвекционный ток. Поляризация и намагничение движущихся сред

1. В этом параграфе мы рассмотрим зависимость поляризации среды, ее намагничения и макроскопической плотности тока от напряженности поля. Начнем с плотности тока. Согласно (110.8) и (68.4),

где, очевидно, под нужно понимать скорость свободных электрических зарядов относительно наблюдателя. Точнее говоря,

предполагается, что все отсчеты положения и движения зарядов, материальных тел и различных сред производятся в некоторой определенной инерциальной системе отсчета, которую мы условно называем неподвижной и считаем связанной с наблюдателем (см. § 77). Кратко это выражается словами: «скорость относительно наблюдателя».

Конечно, все инерциальные системы равноправны. Однако результаты этого параграфа носят приближенный характер и справедливы лишь в случае достаточной медленности движения среды относительно наблюдателя [условие (110.1)]. Иными словами, они справедливы лишь в таких инерциальных системах, скорость которых относительно находящихся в поле материальных тел много меньше скорости света.

Обозначим через скорость зарядов относительно того элемента среды, в состав которой они входят. Тогда

где скорость элемента среды относительно наблюдателя. Внося это в предыдущее уравнение, получаем

ибо скорость среды и как величину макроскопическую нужно считать постоянной во всех точках физически бесконечно малого объема, по которому производится усреднение в предшествующих формулах. Воспользовавшись обозначением (110.8) для и введя обозначение

для плотности тока проводимости получаем

Первый член в этой формуле называется плотностью конвекционного, или переносного, тока и учитывает тот факт, что свободные заряды среды плотности движутся (переносятся) вместе со средой с ее скоростью и. Так, например, ток, обусловленный движением заряженного диэлектрика, полностью сводится к конвекционному току, ибо ток проводимости в этом случае отсутствует. Действительно, согласно определению (111.2) плотности тока проводимости, этот ток обусловливается движением свободных зарядов относительно среды (скорость а в диэлектрике это движение невозможно.

В случае покоящихся сред ток проводимости, согласно (38.1) или равен

где А — электропроводность среды. При обобщении этого уравнения на случай движущихся сред необходимо учесть, что на заряды, увлекаемые средой со скоростью и, действует не сила

а лоренцева сила Так как речь идет о макроскопической величине то при замене в (111.4) вектора на нужно под понимать среднее значение микроскопической напряженности согласно (110.3) равное В. Другими словами, в движущихся средах сила, действующая на заряды среды, определяется не электрическим полем а эффективным полем:

Таким образом, в движущихся средах вместо (111.4) получаем

Строго говоря, сумму в скобках нужно было бы еще дополнить членом ибо полная скорость свободных зарядов, согласно (111.1), равна Учет этого члена соответствует учету эффекта Холла (см. § 45), которым ввиду его малости мы пренебрежем.

Совокупность уравнений (111.3) и (111.6) определяет зависимость макроскопического тока от векторов поля, от от проводимости и скорости среды. Впрочем, уравнения эти справедливы лишь для медленно движущихся сред [условие (110.1)].

2. Переходим к поляризации и намагничению I среды. В случае покоящихся сред эти величины следующим образом зависят от [см. уравнения (22 6), (63.1) и (63.2)]:

(индекс означает, что соответствующие величины относятся к покоящейся среде). Как и в гл. VII, мы ограничимся случаем, когда постоянных магнитов и ферромагнетиков в поле нет, и будем считать материальные постоянные не зависящими ни от напряженности поля, ни от скорости среды.

Обобщение уравнений (111.7) на случай медленно движущихся сред гласит:

Выражения эти могут быть получены из соответствующих формул теории относительности, если в этих формулах пренебречь величиной по сравнению с единицей. Мы, однако, не будем приводить теоретического обоснования выражений (111.8)

и (111.9), а будем считать их данными опытом и лишь укажем наглядный физический смысл некоторых из членов, входящих в эти выражения.

Первый член выражения (111.8) непосредственно получается из выражения (111.7) для путем замены напряженностью эффективного поля [уравнение (111.5), что попросту означает учет наряду с электрической силой также и лоренцевой силы, действующей в магнитном поле на связанные заряды диэлектрика, движущиеся со скоростью и.

Последний член выражения (111.9) также имеет простой смысл — он учитывает магнитное поле, создаваемое движением поляризованного диэлектрика. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть простейший случай, экспериментально исследованный русским ученым А.А. Эйхенвальдом. Круглый эбонитовый диск вращался вокруг своей оси между обкладками конденсатора, представлявшими собой два плоских металлических кольца (рис. 89). Однородное (в первом приближении) поле конденсатора вызывало равномерную поляризацию диска перпендикулярную его плоскости. Таким образом, объемная плотность связанных зарядов внутри диэлектрика равнялась нулю, на верхней же и на нижней поверхностях диска сосредоточивались, согласно (21.2), связанные поверхностные заряды плотности

Рис. 89

Движение этих зарядов со скоростью и эквивалентно поверхностным токам плотности

циркулирующим соответственно по верхней и нижней поверхностям диска. Токи эти обнаруживались по отклонению магнитной стрелки, поднесенной к вращающемуся диску. С целью количественных измерений оба плоских кольца, образовывавших конденсатор, делались разрезными, и через них при покоящемся диске пропускался ток во взаимно противоположных направлениях. Определялась сила тока, оказывающая на магнитную стрелку такое же действие, как и вращение диска. Опыт подтвердил справедливость формулы (111.10).

В излагаемой нами трактовке явлений в движущихся средах движение связанных зарядов среды, согласно (110.10), учитывается ее намагничиванием I (а также членом в опытах Эйхенвальда равнявшимся нулю), причем, согласно (111.9), в среде, магнитная проницаемость которой равна единице,

Легко убедиться, что система поверхностных токов (111.10) действительно эквивалентна такому намагничению среды. Внутри диска вектор I направлен по радиусу диска причем его числовая величина зависит только от Поэтому ротор I равен нулю и объемная плотность молекулярных токов, согласно (110.10), также равна нулю. Поверхностная же плотность молекулярных токов, соответствующая намагничению (111.11), согласно (61.10) и (61.11), равна нулю на вертикальной боковой поверхности диска и численно равна

на его плоских горизонтальных поверхностях, что совпадает с (111.10). Таким образом, опыты Эйхенвальда действительно могут быть истолкованы с точки зрения соответствующего уравнению (111.9) представления о радиальном намагничении диэлектрического диска, вращающегося в электрическом поле конденсатора.

Обобщая приведенные рассуждения, можно в общем виде показать, что последний член формулы (111.9) учитывает магнитное поле, создаваемое движением связанных зарядов поляризованного диэлектрика. Последний член в уравнении (111.8) и второй член первой векторной скобки в уравнении (111.9) не могут быть получены на основании подобных же элементарных соображений, не учитывающих теории относительности. Отметим только, что если по аналогии с (111.5) ввести понятие эффективной магнитной индукции В:

и если воспользоваться выражениями (111.7) для поляризации и намагничения покоящейся среды, то формулы (111 8) и (111.9) можно записать в следующем простом виде:

Можно сказать, что подобно тому как движение поляризованной среды возбуждает поле магнитное (10 при так и движение намагниченной среды возбуждает поле электрическое при

3. Внося (111.8) и (111.9) в уравнения (110.13), получаем

Таковы (с точностью до членов порядка соотношения между основными векторами электромагнитного поля в движущейся

среде, соответствующие соотношениям (V) гл. VII для среды покоящейся. Эти соотношения наряду с выражениями для плотности тока (111.3) и (111.6) и дифференциальными уравнениями Максвелла (IV) достаточны для построения макроскопической теории электромагнитного поля в медленно движущихся средах. Изложению этой теории будут посвящены § 112-114.

Качественное отличие соотношений (111.14) от соответствующих соотношений в покоящихся средах состоит в том, что равенство нулю одного из электрических векторов поля или не влечет за собой с необходимостью равенства нулю и другого из этих векторов; то же самое относится и к магнитным векторам поля. Обусловливается это тем, что в движущихся средах, согласно (111.8) и (111.9), поляризация может быть отличной от нуля при а намагничение I может быть отличным от нуля при

4. Уравнения (111.14) выражают через т. е. через средние напряженности микроскопического поля. Можно, конечно, разрешить эти уравнения, например, относительно Из первого уравнения (111.14) получаем непосредственно:

Внося это во второе уравнение (111.14) и отбрасывая члены порядка (сохранить их было бы непоследовательно, так как основные соотношения излагаемой теории справедливы лишь с точностью до получаем

5. Отметим в заключение, что условием применимости формул этого и всех последующих параграфов, строго говоря, является не только достаточная медленность движения среды [условие (110.1)], но также и требование, чтобы среда двигалась поступательно и равномерно: эффекты, связанные с

ускорением движения среды, нами не учитывались. В частности, эффект Толмена (§ 40), проявляющийся при внезапном ускорении проводников, не может быть объяснен на основе изложенной теории. Если мы, тем не менее, будем применять эту теорию к средам, движущимся ускоренно, в частности к равномерно вращающимся дискам, цилиндрам и т. д. (рассмотренный уже в этом параграфе опыт Эйхенвальда, униполярная машина и т. д.), то это оправдывается исчезающе малым влиянием ускорения на интересующие нас в этой главе явления.

Из рассмотрения, к примеру, изложенной в § 40 теории эффекта Толмена следует, что влияние ускорения на движение среды определяется силой инерции — где масса электрона. При этом под — нужно понимать полное ускорение элемента среды, которое складывается из локального ускорения — и переносного ускорения

[см. любой курс гидродинамики; также уравнение (32.6)].

Таким образом, влияние ускорения, т. е. силы инерции — на электроны среды эквивалентно некоторому эффективному электрическому полю напряженности

Существенно, что отношение массы электрона к его заряду равно -стат.) единиц, т. е. очень мало.

В качестве примера рассмотрим случай диска или цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси z с угловой скоростью и):

Если радиус вращающегося тела равен а, то максимальное значение равно

(Конечно, это выражение для можно было бы получить и непосредственно из выражения для центробежного ускорения при вращении.) Полагая см и что соответствует получаем т. е. совершенно ничтожную величину.