§ 48. Поля потенциальные и поля соленоидальные. Сопоставление дифференциальных уравнений электрического и магнитного полей

1 В § 7 и 8 мы доказали, что необходимым и достаточным условием того, чтобы поле произвольного вектора а было полем потенциальным, является равенство нулю циркуляции вектора по любому замкнутому контуру [уравнение (7.3)]:

В этом и только в этом случае можно ввести однозначный скалярный потенциал вектора а, определяемый соотношением

причем вектор а, согласно результатам § 10, оказывается равным градиенту этого потенциала, взятому с обратным знаком:

Далее, в § 7 мы показали, что вектор, удовлетворяющий интегральному условию (48.1), удовлетворяет также дифференциальному уравнению

во всех точках пространства. Обратно, из уравнения (48.4) следует уравнение (48.1). Таким образом, условия (48.1) и (48.4)

эквивалентны друг другу, и следовательно, необходимым и достаточным условием того, чтобы поле вектора а обладало однозначным скалярным потенциалом, является равенство нулю а во всех точках пространства. Поэтому поле потенциальное называется также полем безвихревым.

В частности, напряженность постоянного электрического поля удовлетворяет условию (48.1) [см. уравнение (7.3)] и поэтому обладает скалярным потенциалом а также удовлетворяет дифференциальному уравнению типа (48.4):

[см. уравнение (7.6)].

2. Сопоставим систему уравнений для напряженностей магнитного и электростатического полей:

Магнитное поле, в отличие от поля электростатического, есть поле вихревое, и притом чисто вихревое в том смысле, что дивергенция его всюду равна нулю. Такие поля называются также соленоидалъными. Поэтому скалярным потенциалом (по крайней мере, однозначным скалярным потенциалом, — см. дальше) магнитное поле не обладает. Подобно тому, как потенциальное электростатическое поле полностью определяется заданием силы его истоков (т. е. заданием его дивергенции как функции координат), так вихревое магнитное поле полностью определяется заданием мощности его вихрей, т. е. заданием ротора поля как функции координат. Согласно уравнению (47.3) вихри магнитного поля расположены в участках поля, обтекаемых токами, и только в них, причем мощность этих вихрей (т. е. ротор) пропорциональна плотности тока Иными словами, обтекаемые токами участки поля могут быть названы вихревым пространством магнитного поля.