§ 80. Простейшие применения теории переменных токов. Трансформатор

1. Прежде чем переходить к применению полученных результатов к конкретным задачам, заметим, что переходом к практической (а также и электромагнитной) системе единиц (§ 59) можно достигнуть устранения из всех формул последних параграфов усложняющего их фактора с. Покажем это на примере формул (78.2) и (79.6).

Пользуясь табл. можно написать

где суть выраженные в практических единицах (вольт, ампер, генри) значения электродвижущей силы, силы тока и коэффициента индукции, тогда как являются значениями тех же величин в абсолютных единицах, которыми мы до сих пор и пользовались. Кроме того, практической единицей энергии является джоуль, равный 107 эргов; стало быть, в тех же обозначениях

Выражая в формулах (78.2) и (79.6) значения всех величин в практических единицах и внося в них значение коэффициента по сокращении получим

В последующих примерах и задачах мы часто будем пользоваться не абсолютной системой единиц, а практической, обычно применяемой в прикладном учении об электричестве.

Пример 1. Превращения энергии при замыкании и размыкании тока. Для уединенной недеформирующейся цепи тока, согласно уравнениям (77.2) и (80.1), можем написать, пользуясь практической системой единиц:

где есть самоиндукция цепи тока. Общее решение этого дифференциального уравнения в случае независимости от времени имеет вид

где а — произвольная постоянная интегрирования.

Предположим, что разомкнутая ранее цепь тока замыкается в момент так что при Чтобы удовлетворить этому условию, необходимо положить

откуда

Следовательно, сила тока при замыкании цепи нарастает экспоненциально от нуля до соответствующего закону Ома предельного значения

"Умножая исходное уравнение на получим

или

Таким образом, работа сторонних электродвижущих затрачивается при замыкании цепи не только на преодоление (омического) сопротивления цепи т. е. на выделение джоулева тепла но и на приращение магнитной энергии тока (ср. уравнение (80.2)]. Этим постепенным накоплением магнитной энергии и обусловливается постепенность нарастания силы тока при замыкании цепи.

Обратно, если в момент в цепи циркулирует ток и если в этот момент выключить из цепи источник электродвижущей силы так, чтобы цепь тока все же оставалась замкнутой (например замкнув источник электродвижущей силы накоротко), то сила тока не сразу упадет до нуля, а будет убывать по экспоненциальному закону:

Уравнение энергии в этом случае примет вид

Это значит, что после выключения электродвижущей силы ток в цепи будет все же поддерживаться за счет энергии, запасенной в магнитном поле тока, вплоть до того момента, пока вся эта энергия не перейдет в джоулево тепло.

Соответственно этому скорость нарастания и убывания тока определяется значением т. е. соотношением между «энергетической емкостью» магнитного поля тока, определяемой коэффициентом и испытываемым током сопротивления или «трения», обусловливающего переход его энергии в тепло. Чем меньше сопротивление и чем больше самоиндукция, тем относительно медленнее происходит изменение силы тока. Таким образом, коэффициент самоиндукции является мерой своего рода «электромагнитной инерции» тока.

С энергетической точки зрения электрический ток в замкнутом проводнике можно сравнить с вращением вала, несущего маховое колесо и приводимого в движение двигателем. При пуске в ход двигателя (сторонние электродвижущие силы) работа его затрачивается как на преодоление трения в подшипниках (сопротивление проводника), т. е. на выделение тепла (джоулево тепло), так и на сообщение колесу кинетической энергии (энергия магнитного поля тока), благодаря чему возрастание скорости вращения (силы

тока) происходит постепенно. При выключении же двигателя вал продолжает вращаться по инерции, причем кинетическая энергия колеса переходит в тепло, выделяющееся при трении.

Пример 2. Самоиндукция в цепи переменного тока. 1. Предположим, что в замкнутую цепь тока включен некоторый источник переменной электродвижущей силы, например динамомашина. Электродвижущую силу этого источника мы будем рассматривать как некоторую стороннюю (нашей цепи) электродвижущую силу являющуюся заданной функцией времени. Тогда уравнение (80.3) примет вид

2. При рассмотрении происходящих в цепи явлений, как и в целом ряде дальнейших вопросов, мы ограничимся случаем периодических переменных токов, сила которых является синусоидальной функцией времени. Эта форма зависимости токов от времени имеет наибольшее практическое значение и легче всего поддается математическому исследованию. Результаты изучения подобных токов могут быть приложены и к более сложным случаям, ибо, как известно, любую периодическую функцию всегда можно разложить в ряд Фурье, каждый член которого является синусоидальной функцией времени.

Как известно, оперирование с периодическими функциями весьма упрощается при пользовании комплексными выражениями. В дальнейшем мы всегда будем поэтому выражать синусоидально-периодические величины в комплексной форме. В частности, в рассматриваемом случае мы положим

где амплитуды электродвижущей силы и силы тока и от времени не зависят, а со есть циклическая частота тока и электродвижущей силы. При этом амплитуды и вообще говоря, будут величинами комплексными. Непосредственное же физическое значение имеет, конечно, лишь вещественная часть этих комплексных выражений. Мы можем, однако, воспользоваться тем обстоятельством, что вещественная часть результатов, получаемых при выполнении линейных операций над комплексными выражениями, совпадает с результатами выполнения этих операций над одними лишь вещественными частями исходных выражений. Поэтому переход к вещественной части комплексных выражений, которой мы только и будем приписывать

физический смысл, может быть совершен как до, так и после выполнения этих операций. Лишь при нелинейных операциях (например умножении) необходимо переходить к вещественным частям комплексных выражений до выполнения над ними этих операций (ибо вещественная часть произведения комплексных величин не равна произведению их вещественных частей).

3. Внося выражения (80.6) в уравнение (80.5), производя дифференцирование по времени и сокращая затем полученные уравнения на общий множитель получаем

или

Комплексный знаменатель правой части целесообразно преобразовать с помощью известных соотношений

С помощью этих соотношений и обозначений получаем

вещественные же части тока и электродвижущей силы выразятся, согласно (80.6), формулами (считаем величину вещественной)

Таким образом, наличие самоиндукции в цепи переменного тока, во-первых, как бы увеличивает сопротивление цепи: амплитуда тока определяется частным от деления на «кажущееся» или «эффективное» сопротивление Я:

которое всегда больше «омического» сопротивления

Далее, наличие самоиндукции вызывает отставание фазы тока от фазы электродвижущей силы, причем сдвиг фазы согласно формуле

тем больше, чем больше самоиндукция цепи и частота тока. Причина этого сдвига фазы такова же, как и причина постепенности нарастания силы тока при замыкании цепи постоянного тока (пример 1): сила тока не успевает следовать за изменениями

электродвижущих сил потому, что всякое изменение силы тока должно сопровождаться соответствующим постепенным изменением запаса магнитной энергии.

Потребляемая в цепи тока мощность, т. е. работа источника электродвижущей силы, отнесенная к единице времени, определяется выражением

Так как

и так как среднее значение за период равно соответственно 1/2 и нулю, то средняя за период потребляемая мощность равна

Таким образом, при заданной электродвижущей силе потребляемая в цепи мощность пропорциональна т. е. тем меньше, чем больше сдвиг фазы

В предельном случае при потребляемая мощность равна нулю: в течение полупериода источник электродвижущей силы совершает положительную работу за счет которой увеличивается запас магнитной энергии, тогда как за следующий полупериод этот запас энергии вновь возвращается источнику электродвижущей силы, совершающему отрицательную работу Эти преобразования энергии происходят без потери на джоулево тепло, ибо при стало быть, согласно уравнению (80.9), в этом предельном случае омическое сопротивление цепи должно равняться нулю (если конечно).

Пример 3. Элементарная теория трансформатора. Простейшая схема трансформатора состоит из двух контуров тока (индукционных катушек), связанных между собой индукционным взаимодействием. Для увеличения этого взаимодействия (т. е. увеличения коэффициента взаимной индукции обе катушки обычно надеваются на общий железный сердечник, чем достигается значительное повышение магнитной проницаемости среды. Для упрощения мы, однако, предположим, что в поле катушек никаких ферромагнетиков нет.

Обычно одна из катушек или обмоток трансформатора (первичная) питается переменным током, доставляемым извне каким-либо источником энергии, тогда как индукционные токи, возбуждаемые в другой обмотке (вторичной), отводятся к месту потребления электромагнитной энергии. Источник энергии, питающий первичную обмотку, мы будем рассматривать как некоторую стороннюю электродвижущую силу являющуюся

заданной функцией времени; стороннюю электродвижущую силу во вторичной обмотке положим равной нулю.

Применяя к трансформатору уравнения (78.3) и переходя к практической системе единиц, получим

Предположим, что электродвижущая сила является синусоидальной функцией времени с циклической частотой . Тогда из уравнений (80.11) следует, что и должны быть такими же функциями времени, так что в комплексной форме

где от времени не зависят.

Внося эти выражения в уравнение (80.11), производя дифференцирование по времени и сокращая затем полученные уравнения на общий множитель получаем

Из последнего уравнения получаем

или, выполняя обычные преобразования,

В частности, в том практически важном случае, когда «индуктивное сопротивление» вторичной обмотки значительно больше ее омического сопротивления:

из уравнения (80.13) получаем приближенно (пренебрегая по сравнению с

Следовательно, подбирая надлежащим образом индукционные коэффициенты мы можем с помощью трансформатора в произвольное число раз повысить или понизить силу тока во вторичной цепи по сравнению с цепью первичной.

Конечно, потребление энергии во вторичной обмотке увеличивает расход энергии источника электродвижущей силы, включенной в первичную обмотку. Действительно, из первого уравнения (80.12) следует:

Если вторичная обмотка отсутствует или разомкнута то и мы возвращаемся к рассмотренному выше примеру уединенной цепи переменного тока. Если же вторичная обмотка включена, то, внося из (80.13) значение в последнее уравнение, получаем

где

Таким образом, включение вторичной цепи эквивалентно увеличению омического сопротивления и уменьшению самоиндукции первичной цепи. Оба фактора влекут за собой, согласно (80.9) и (80.10), уменьшение сдвига фазы в первичной цепи и увеличение потребления энергии источника электродвижущей силы

Задача 35. В постоянном однородном магнитном поле равномерно вращается недеформирующийся замкнутый плоский контур сопротивления и самоиндукции к которому не приложено сторонних электродвижущих сил. Ось вращения перпендикулярна к и лежит в плоскости контура. Число оборотов в секунду равно Соответственно этому поток магнитной индукции внешнего поля через контур определяется выражением Значения всех величин предполагаются выраженными в практических единицах (штрихованные буквы).

Показать, что в контуре должен индуцироваться ток

где есть сдвиг фазы тока по отношению к фазе электродвижущей силы индукции возбуждаемой в контуре изменением потока индукции внешнего поля Н:

причем

Показать, далее, что для поддержания вращения контура необходима затрата извне механической работы в количестве

где через обозначена амплитуда тока причем в контуре выделяется равное работе А количество джоулева тепла

Если предположить, что замкнутый контур состоит из двух частей, из которых одна вращается в постоянном магнитном поле (якорь в поле статора), а другая неподвижна (сеть), причем контакт между обеими частями контура во время вращения не нарушается, то мы получим простейшую схему генератора переменного тока, к которой применимы все результаты, получаемые при решении задачи 35 Однако на практике необходимо принимать во внимание, что переменные токи во вращающемся якоре в свою очередь индуцируют токи в обмотке статора, чем нарушается постоянство «внешнего» магнитного поля Далее, в задаче 35 мы ограничились рассмотрением установившегося режима тока, оставив без рассмотрения явления, происходящие при возникновении и прекращении вращения якоря, изменении нагрузки сетки и