§ 8. Интегральные соотношения. Теорема Грина
Формулы Гаусса (17 и Стокса (27 представляют собой основные интегральные соотношения векторного анализа; исходя из них, можно получить и ряд других важных соотношений между пространственными (объемными, поверхностными и линейными) интегралами скалярных и векторных величин.
1. Формула Гаусса (17 позволяет без труда доказать важную для векторного анализа и его приложений теорему Грина. Для этой цели в формуле Гаусса (
положим: 
где 
два произвольных скаляра. Согласно (432 и (40
Далее, 
Поэтому из (17 следует, что
где интеграл правой части должен быть взят по замкнутой поверхности 
ограничивающей область интегрирования 
Эта формула и выражает собой теорему Грина.
Для некоторых целей удобно преобразовать формулу (52, заменив в ней 
на 
и обратно; вычтя полученное таким образом уравнение из (52), получаем
Как указывалось, применение теоремы Гаусса ограничено требованием непрерывности вектора а и конечности его первых производных в области интегрирования 
Поэтому теорема Грина непосредственно применима лишь к конечным и непрерывным скалярным функциям точки 
обладающим в области интегрирования V производными первого и второго порядков.
2. Рассмотрим линейный интеграл произвольного, но обладающего конечными производными скаляра 
по произвольному замкнутому контуру 
Интеграл этот является вектором, ибо под 
мы понимаем векторную величину элемента длины контура.
Чтобы преобразовать этот интеграл, помножим его скалярно на некоторый произвольный, но постоянный по величине и направлению вектор с:
С помощью теоремы Стокса (27 последний интеграл может быть преобразован в интеграл по произвольной поверхности 
опирающейся на контур 
для этого достаточно положить в уравнении (
Ввиду постоянства вектора с из уравнения (433) получаем
и, стало быть, 
Внося это выражение в последнее интегральное соотношение и вынося постоянный вектор с за знак интеграла, получаем
Ввиду произвольности вектора с это равенство может иметь место только при условии равенства обоих интегралов. Таким образом, приходим к искомой формуле
где, как явствует из вывода, 
есть нормаль к поверхности 
образующая правовинтовую систему с направлением положительного обхода контура 
Если мы условимся элемент поверхности 
считать величиной векторной, направление которой совпадает с направлением положительной нормали к этому элементу 
то уравнение (54 можно будет записать следующим образом:
3. Докажем соотношение
позволяющее преобразовать интеграл ротора произвольного вектора а по произвольному объему V в интеграл тангенциальных слагающих этого вектора по замкнутой поверхности 
охватывающей объем 
Умножим подлежащий преобразованию объемный интеграл скалярно на произвольный, но постоянный по величине и направлению вектор с. Согласно уравнению (44,
так как ротор постоянного вектора с равен нулю.
Следовательно,
где мы воспользовались теоремой Гаусса (17.
Наконец, 
[па], и, стало быть,
Ввиду произвольности вектора с отсюда вытекает уравнение (56).
Заканчивая изложение векторного анализа, отметим, что в настоящем приложении мы не рассматривали некоторые предельные теоремы, приводящие к понятию о поверхностном роторе и поверхностной дивергенции. Эти теоремы, а также некоторые тензорные соотношения выводятся в тексте книги.
§ 9. Важнейшие формулы векторного анализа
(см. скан)
