§ 100. Электромагнитная природа света. Плоские волны в диэлектрике

1. В § 97 мы убедились, что скорость распространения электромагнитных волн в вакууме совпадает со скоростью света, а в § 99 на частном примере электромагнитных волн, излучаемых осциллятором, убедились, что волны эти, подобно волнам

световым, суть волны поперечные, т. е. что векторы волнового поля перпендикулярны к направлению распространения волны.

Это совпадение существеннейших свойств световых и электромагнитных волн заставляет предположить, что первые представляют собой лишь частный случай вторых и отличаются от невидимых электромагнитных волн лишь своей частотой или длиной волны. Если это так, то под «световым вектором» (формальное понятие, которым оперирует волновая оптика) нужно, очевидно, понимать либо электрический, либо магнитный вектор электромагнитной световой волны, ибо как так и перпендикулярны к направлению волны (что и требуется от светового вектора). Иными словами, направление поляризации, например, линейно поляризованного света должно определяться направлением векторов

Эти предположения действительно подтверждаются более глубоким изучением свойств электромагнитных волн и сравнением их со свойствами света, так что в настоящее время можно с уверенностью сказать, что выяснение электромагнитной природы света является одним из прочнейших и важнейших завоеваний физики XIX столетия.

В этом параграфе мы рассмотрим один из простейших вопросов теории электромагнитных волн — распространение плоских монохроматических волн в однородных диэлектриках.

2. Волна называется плоской, если в любой момент времени во всех точках любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, векторы поля имеют одинаковое значение. Иными словами, если выбрать ось z по направлению распространения волны, то векторы поля плоской волны должны зависеть только от координаты z, но не от координат Рассмотрение подобных плоских волн имеет вполне определенное физическое значение, ибо, например, в достаточном удалении от осциллятора ограниченный участок излучаемой им сферической волны можно с достаточной точностью считать плоским.

Волна называется монохроматической (по-гречески — одноцветной; термин заимствован из оптики), если поле волны является гармонической (синусоидальной) функцией времени. Стало быть, комплексные выражения векторов поля плоской монохроматической волны должны иметь вид

где (вообще говоря, комплексные) векторы зависят только от координаты конечно, непосредственное физическое значение имеет только вещественная часть этих выражений (§ 80, с. 369).

3. Предположим, что рассматриваемый нами диэлектрик однороден постоянны) и лишен свободных электрических зарядов Полагая в уравнении Максвелла имеем

дифференцируя это выражение по времени и внося затем в него значение из уравнения (II):

получим на основании уравнения :

Так как при уравнение (IV) принимает вид

то, стало быть,

Так как уравнения (I) и (II) симметричны относительно (вплоть до знака), то совершенно аналогичным образом получим

4. Справедливость уравнений (100.2) и (100.3) ограничена лишь требованием однородности среды и отсутствия в ней токов проводимости и свободных зарядов. В случае же плоских монохроматических волн уравнения эти на основании уравнения (100.1) могут быть записаны в следующей форме (по сокращении на

или

где нами введено обозначение

Решения этих уравнений, как известно, имеют вид

где и суть произвольные постоянные интегрирования. Внося эти выражения в уравнение (100.1), получим

Первые члены этих выражений представляют собой волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z, а вторые — волну, распространяющуюся в обратном направлении. Без существенного ограничения общности рассуждения можно ограничиться рассмотрением лишь одной из этих волн, например первой, и положить

и суть амплитуды векторов и независимость этих амплитуд от координат означает, что распространение плоских волн в диэлектрике не связано с изменением их интенсивности. Амплитуды и В являются, вообще говоря, величинами комплексными.

5. Скорость волны, согласно (100.5), равна ибо в момент значения векторов поля в плоскости совпадают с теми значениями, которыми эти векторы обладали в момент в плоскости Это явствует из равенства соответствующих фаз:

Согласно уравнению (100.4), скорость эта равна

что совпадает с общими результатами, полученными в § 94-96 [уравнение (94.7)].

Заметим, что величина к весьма просто связана с длиной волны внося в уравнение (100.6) значение получим

Таким образом, к равно числу волн, укладывающихся на отрезке в см, и поэтому называется волновым числом.

6. Для упрощения дальнейших вычислений заметим, что, согласно уравнению (100.5), дифференцирование векторов плоской волны по z сводится к умножению их на Так как, с другой стороны, эти векторы не зависят от , то символическое умножение их на дифференциальный оператор набла сводится к умножению на обычный вектор — так что в применении к этим векторам

(не смешивать единичные векторы по осям координат с мнимой единицей и волновым числом ).

В том случае, если ось z координатной системы не совпадает с направлением распространения волны, достаточно, очевидно, заменить к единичным вектором совпадающим с этим направлением:

На основании этого соотношения максвелловы уравнения (III) и (IV) принимают вид

откуда следует, что векторы перпендикулярны к т. е. перпендикулярны к направлению волны. Таким образом, плоские электромагнитные волны, как и волны шаровые, суть волны поперечные.

Дифференцирование векторов по времени, согласно уравнению (100.5), сводится к умножению их на ввиду чего с помощью уравнения (100.8) уравнение (II) может быть представлено в следующем виде:

Внося сюда значение к из уравнения (100.4) и деля уравнение на получим

Из этого уравнения следует, во-первых, что векторы взаимно перпендикулярны и, во-вторых, что взаимно

перпендикулярные векторы образуют правовинтовую систему (рис. 83; ср. рис. 82). Далее, ввиду перпендикулярности и получаем следующее соотношение между числовыми значениями векторов и Н:

Таким образом, отношение числовых значений векторов от времени не зависит, т. е. векторы эти обладают одинаковыми фазами и изменяются синхронно.

Рис. 83

7. Обращаясь к определению нелинейных функций векторов поля (энергия, вектор Пойнтинга и т. д.), мы должны предварительно перейти к вещественным частям комплексных выражений (100.5) (см § 80, с. 370). В последующих формулах мы соответственно этому будем считать векторы вещественными.

Согласно уравнению плотность магнитной энергии в поле волны оказывается равной плотности энергии электрической:

стало быть,

Из рассмотрения рис. 83 явствует, что направление вектора Пойнтинга

т. е. направление потока энергии в волне, совпадает с направлением ее распространения. Ввиду перпендикулярности векторов

Выражая с помощью уравнения (100.10) через и воспользовавшись уравнениями (100.11) и (100.6), получим

откуда

Таким образом, количество энергии протекающее за элемент времени через единичную площадку, перпендикулярную к вектору (т. е. перпендикулярную к направлению волны), равно количеству энергии содержащейся в прилегающем

к этой площадке цилиндре высотой Физически это значит, что скорость течения энергии равна совпадает с фазовой скоростью волны.