§ 52. Коэффициент самоиндукции. Полная потенциальная функция системы токов

1. Перейдем теперь к рассмотрению пондеромоторных сил взаимодействия элементов одного и того же тока (например тока и постараемся определить потенциальную функцию этих сил, которую с соответствующими оговорками можно назвать собственной потенциальной «энергией»

Конечно, рассматривая взаимодействие смежных элементов тока, мы уже не можем считать этот ток линейным и должны исходить не из формулы (50.7), а из формулы (50.8). Снабдив для определенности в этой формуле индексом 1, получим

где перед интегралом, в отличие как от (50.8), так и от формул § 51, стоит фактор а не Появление фактора 1/2 объясняется тем, что взаимодействие каждой пары элементов тока дважды учитывается в интеграле (52.1): оно входит составной частью как в так и в ибо значение в элементе объема включает в себя поле элемента Это обстоятельство непосредственно выявляется, если внести в (52.1) выражение (46 1) вектор-потенциала

тогда уравнение (52.1) принимает вид

где интегрирование как по так и по должно быть распространено на весь объем тока т. е., другими словами, должна быть взята сумма подынтегральных выражений для всех возможных попарных комбинаций элементов объема При этом, очевидно, две комбинации элементов отличающиеся только порядком сомножителей, все же должны считаться различными. есть, конечно, расстояние между элементами

2. Так как распределение тока по сечению проводника зависит только от геометрических и физических свойств этого проводника, а не от силы тока в нем, то плотность тока в каждом из элементов объема проводника пропорциональна т. е.

где есть так называемый коэффициент самоиндукции проводника, зависящий только от геометрической конфигурации проводника (если он однороден, в противном случае зависит также от соотношения электропроводностей отдельных элементов объема проводника), но не от силы тока в нем.

Из этого уравнения вытекает следующее выражение для коэффициента самоиндукции проводника:

Заметим, что совершенно аналогичным образом из (51.6) и (51.12) вытекает следующее выражение для коэффициента взаимной индукции двух объемных токов

которое переходит в (51.3), если эти токи можно считать линейными.

3. Собственную потенциальную «энергию» тока можно было бы также определить, разбивая ток на совокупность бесконечно тонких нитей тока выражая потенциальную функцию каждой нити с помощью уравнения (50.4):

где означает магнитный поток, посылаемый всем током через контур данной нити, и, наконец, суммируя по всем нитям:

Перед знаком суммы нужно ввести множитель 1/2 потому, что взаимодействие каждой пары нитей тока учитывается в сумме дважды.

Если через обозначить среднее значение магнитного потока через отдельные нити тока, то последнее уравнение можно записать в форме, аналогичной уравнению (51.6):

Величину можно назвать (средним) магнитным потоком, посылаемым током через свой собственный контур; в сущности, правильнее сказать, что величина по определению должна удовлетворять уравнению (52.6) и может быть определена из сравнения этого уравнения с (52.3):

Это последнее соотношение вполне соответствует уравнению (51.4). Стало быть, можно сказать, что коэффициент самоиндукции произвольного замкнутого проводника численно равен магнитному потоку посылаемому через контур этого проводника циркулирующим по нему током силы с:

Однако при этом нужно помнить, что есть среднее значение магнитного потока через контуры отдельных нитей, на которые может быть разложен ток и что как так и существенно зависят от формы и размеров сечения проводника Для бесконечно же тонкого линейного контура величины обращаются в бесконечность, т. е. теряют смысл.

4. Возвращаясь к случаю системы двух токов, заметим, что общая потенциальная «энергия» этой системы равна, очевидно, сумме их взаимной «энергии» и собственных потенциальных «энергий» каждого из них:

Ввиду того, что можно также написать

Последнее выражение останется применимым и к системе произвольного числа (например токов, если только распространить в нем суммирование на все возможные пары индексов

5. Полную потенциальную функцию системы токов можно непосредственно выразить через плотность токов и вектор-потенциал поля токов. С этой целью предварительно представим выражения (51.10) и (51.11) в симметричной форме: ввиду равенства [см. уравнение (51.12)] можно написать

Приняв, далее, во внимание (52.1), получим

или, так как где А есть вектор-потенциал результирующего поля обоих токов,

Последний интеграл должен быть, очевидно, распространен по объему обоих токов Если других токов в поле нет, то мы можем распространить интегрирование на объем всего поля, ибо вне токов и соответствующие члены интеграла обращаются в нуль.

Как уже указывалось в связи с формулой (50.8), выражение потенциальной функции можно при желании истолковать в том смысле, что каждый элемент объема тока обладает в магнитном поле потенциальной «энергией»