§ 53. Магнитные силовые линии

1. Описание свойств магнитного поля, как и поля электрического, часто весьма облегчается введением в рассмотрение так называемых силовых линий этого поля. По определению, магнитными силовыми линиями называются линии, направление касательных к которым в каждой точке поля совпадает с направлением напряженности поля в той же точке. Дифференциальное уравнение этих линий, очевидно, будет иметь вид уравнение (10.3)]

Магнитные силовые линии, как и линии электрические, проводятся обычно с таким расчетом, чтобы в любом участке поля число линий, пересекающих перпендикулярную к ним площадку единичной поверхности, было по возможности пропорционально напряженности поля на этой площадке; однако, как увидим ниже, требование это далеко не всегда выполнимо.

2 Основываясь на уравнении (3.6)

мы пришли в § 10 к следующему выводу: электрические силовые линии могут начинаться или кончаться только в тех точках поля, в которых расположены электрические заряды. Применяя же теорему Гаусса (17 к потоку магнитного вектора, мы на основании уравнения (47.1) получим

Таким образом, в отличие от потока электрического вектора поток магнитного вектора через произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю. Это положение является математическим выражением того факта, что магнитных зарядов, подобных зарядам электрическим, не существует: магнитное поле возбуждается не магнитными зарядами, а движением зарядов электрических (т. е. токами). Основываясь на этом положении и на сравнении уравнения (53.2) с уравнением (3.6), нетрудно убедиться путем приведенных в § 10 рассуждений, что магнитные силовые линии ни в каких точках поля не могут ни начинаться, ни кончаться

3. Из этого обстоятельства обычно делается вывод, что магнитные силовые линии в отличие от линий электрических должны быть линиями замкнутыми либо идти из бесконечности в бесконечность.

Рис. 53

Действительно, оба эти случая возможны. Согласно результатам решения задачи 25 в § 42 силовые линии в поле бесконечного прямолинейного тока представляют собой перпендикулярные току окружности с центром на оси тока. С другой стороны (см. задачу 26), направление магнитного вектора в поле кругового тока во всех точках, лежащих на оси тока, совпадает с направлением этой оси. Таким образом, ось кругового тока совпадает с силовой линией, идущей из бесконечности в бесконечность; чертеж, приведенный на рис. 53, представляет собой разрез кругового тока меридиональной плоскостью (т. е. плоскостью,

перпендикулярной плоскости тока и проходящей через его центр), на котором штриховыми линиями изображены силовые линии этого тока

Возможен, однако, и третий случай, на который не всегда обращается внимание, а именно: силовая линия может не иметь ни начала, ни конца и вместе с тем не быть замкнутой и не идти из бесконечности в бесконечность. Этот случай имеет место, если силовая линия заполняет собой некоторую поверхность и притом, пользуясь математическим термином, заполняет ее всюду плотно. Проще всего пояснить это на конкретном примере.

4. Рассмотрим поле двух токов — кругового плоского тока и бесконечного прямолинейного тока идущего по оси тока (рис. 54). Если бы существовал один лишь ток то силовые линии поля этого тока лежали бы в меридиональных плоскостях и имели бы вид, изображенный на предыдущем рисунке. Рассмотрим одну из этих линий, изображенную на рис. 54 штриховой линией. Совокупность всех подобных ей линий, которые могут быть получены вращением меридиональной плоскости вокруг оси образует собой поверхность некоторого кольца или тора (рис. 55).

Рис. 54

Рис. 55

Силовые же линии поля прямолинейного тока представляют собой концентрические окружности. Стало быть, в каждой точке поверхности как так и касательны к этой поверхности; следовательно, и вектор напряженности результирующего поля тоже касателен к ней. Это значит, что каждая силовая линия поля проходящая через одну какую-нибудь точку поверхности должна лежать на этой поверхности всеми своими точками. Линия эта, очевидно, будет представлять собой винтовую линию на

поверхности тора Ход этой винтовой линии будет зависеть от соотношения сил токов и от положения и формы поверхности Очевидно, что лишь при некотором определенном подборе этих условий винтовая линия эта будет замыкаться; вообще же говоря, при продолжении линии новые витки ее будут ложиться между прежними витками. При неограниченном продолжении линии она подойдет как угодно близко к любой раз пройденной точке, но никогда вторично в нее не вернется. А это и значит, что, оставаясь незамкнутой, линия эта всюду плотно заполнит поверхность тора .

5. Чтобы строго доказать возможность существования незамкнутых силовых линий, введем на поверхности тора ортогональные криволинейные координаты у (азимут меридиональной плоскости) и (полярный угол в меридиональной плоскости с вершиной, расположенной на пересечении этой плоскости с осью кольца, — рис. 54).

Напряженность полей на поверхности тора является функцией одного лишь угла причем вектор направлен по направлению возрастания (или убывания) этого угла, а вектор по направлению возрастания (или убывания) угла Пусть есть расстояние данной точки поверхности от центральной линии тора, расстояние ее от вертикальной оси тока Как нетрудно убедиться, элемент длины линии, лежащей на выразится формулой

Соответственно этому дифференциальное уравнение линий сил [ср. уравнение (53.1)] на поверхности примет вид

Приняв во внимание, что пропорциональны силам токов и интегрируя, получим

где есть некоторая функция угла не зависящая от .

Чтобы линия была замкнутой, т. е. чтобы она возвращалась в начальную точку, необходимо, чтобы некоторому целому числу оборотов линии вокруг тора соответствовало целое же число оборотов ее вокруг вертикальной оси. Иными словами, необходимо, чтобы можно было найти два таких целых числа пит, чтобы возрастанию угла на соответствовало возрастание угла на

Примем теперь во внимание, что представляет собой интеграл периодической функции угла с периодом Как известно, интеграл

периодической функции в общем случае является суммой функции периодической и функции линейной. Значит,

где К есть некоторая постоянная, есть функция с периодом Стало быть,

Внося это в предыдущее уравнение, получим условие замкнутости силовых линий на поверхности тора

Здесь К есть величина, от не зависящая. Очевидно, что два целых числа пят, удовлетворяющих этому условию, могут быть найдены лишь в том случае, если величина — К является числом рациональным (целым или дробным); это будет иметь место лишь при определенном соотношении между силами токов Вообще говоря, — К будет величиной иррациональной и, стало быть, силовые линии на рассматриваемой поверхности тора будут незамкнутыми. Однако и в этом случае всегда можно подобрать целое число так, чтобы — как угодно мало отличалось от некоторого целого числа Это значит, что незамкнутая силовая линия после достаточного числа оборотов как угодно близко подойдет к любой, раз пройденной точке поля. Аналогичным путем можно показать, что линия эта после достаточного числа оборотов как угодно близко подойдет к любой наперед заданной точке поверхности а это значит по определению, что она всюду плотно заполняет эту поверхность.

6. Существование незамкнутых магнитных силовых линий, всюду плотно заполняющих некоторую поверхность делает, очевидно, не возможным точное графическое изображение поля с помощью этих линий. В частности, далеко не всегда можно удовлетворить требованию, чтобы число линий, пересекающих перпендикулярную им единичную площадку, было пропорционально напряженности поля на этой площадке. Так, например, в только что рассмотренном случае одна и та же незамкнутая линия бесконечное число раз пересечет любую конечную площадку, пересекающую поверхность кольца

Впрочем, при надлежащей осмотрительности пользование понятием силовых линий является хотя и приближенным, но все же удобным и наглядным способом описания магнитного поля.

7. Согласно уравнению (47.5), циркуляция вектора напряженности магнитного поля по кривой, не охватывающей токов, равна нулю, циркуляция же по кривой, охватывающей токи, равна умноженной на сумме сил охватываемых токов (взятых с надлежащими знаками). Циркуляция вектора по силовой линии не может равняться нулю (ввиду параллельности элемента длины силовой линии и вектора величина существенно положительна). Следовательно, каждая замкнутая магнитная силовая линия должна охватывать хотя бы один из несущих ток проводников. Больше того, незамкнутые силовые линии, плотно заполняющие некоторую поверхность (если только они не идут из бесконечности в бесконечность), также должны обвиваться вокруг токов Действительно, интеграл вектора по почти замкнутому витку такой линии существенно положителен. Стало быть, циркуляция по замкнутому контуру, получаемому из этого витка добавлением замыкающего его произвольно малого отрезка, отлична от нуля. Следовательно, контур этот должен пронизываться током.