§ 4. Теорема Гаусса. Дивергенция

1. Поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный; в этом заключается содержание одной из важнейших теорем векторного анализа — теоремы Гаусса.

Рассмотрим сначала поток произвольного, но дифференцируемого вектора а через поверхность бесконечно малого параллелепипеда и выберем для удобства вычислений направление осей координат х, у, z так, чтобы они совпадали с ребрами этого параллелепипеда (рис. 101). Интеграл

сводится в этом случае к сумме шести интегралов по каждой из граней параллелепипеда. Воспользовавшись известной из интегрального исчисления теоремой о среднем, можно каждый из этих шести интегралов представить как произведение площади грани на некоторое среднее значение нормальной слагающей вектора а на данной грани.

Рис. 101

Рассмотрим сначала поток вектора а через две параллельные грани 1 и 2, перпендикулярные оси х. Поток через переднюю

грань равен

где — некоторые средние значения координат на грани - значение вектора а на грани поток через заднюю грань 1 равен

где значение вектора а на грани 1, ибо внешняя нормаль к этой грани направлена противоположно оси х. Стало быть, общий поток через грани 1 и 2 равен

Разность есть приращение слагающей вектора при изменении координаты х на расстояние между гранями 1 и 2. С точностью до бесконечно малых второго порядка приращение это равно

где ввиду бесконечной малости параллелепипеда под можно понимать значение этой производной в любой точке параллелепипеда. Таким образом, общий поток через обе грани, перпендикулярные к оси х, равен

Для потоков через пары граней, перпендикулярных осям получим аналогично:

Складывая полученные выражения, получим общий поток вектора а через все шесть граней элементарного параллелепипеда:

Стоящую в скобках сумму производных вектора а по осям координат принято для краткости обозначать символом

(читай «дивергенция а», смысл слова см. дальше). Если, кроме того, ввести для бесконечно малого элемента объема обозначение

то выражение потока примет вид

2. Эту формулу, выражающую поток вектора а через поверхность бесконечно малого параллелепипеда, нетрудно обобщить для поверхности произвольной формы и размеров. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность Разобьем ограниченный ею объем V системой взаимно перпендикулярных плоскостей на совокупность бесконечно малых кубических элементов. Конечно, крайние, смежные с поверхностью элементы объема, вообще говоря, не будут иметь кубической формы; однако путем дальнейшего дробления их можно достигнуть того, чтобы грани крайних кубиков с любой степенью точности совпадали с заданной поверхностью Вычислим с помощью уравнения (16 поток вектора а через поверхность каждого кубика, лежащего внутри и сложим полученные выражения:

В этом уравнении тройной интеграл означает, что суммирование подынтегрального выражения должно быть произведено по всем элементам трехмерного объема V, заключенного внутри поверхности Однако на протяжении всей этой книги мы обозначали интегралы любой кратности одним единственным знаком различение же интегралов разной кратности достигалось различным обозначением элементов интегрирования:

элемент объема (трехкратного интеграла) обозначался через

элемент поверхности (двукратного интеграла) через элемент линии (одинарного интеграла) через Грани всех элементарных кубиков, составляющих в совокупности объем V, могут быть разделены на два класса — грани внешние, совпадающие с элементами поверхности и грани внутренние, отграничивающие смежные кубики друг от друга. Очевидно, что в сумму поток вектора а через каждую внутреннюю грань войдет дважды: при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по одну сторону от этой грани, и при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по другую сторону от нее. Так как нормаль к грани, внешняя по отношению к первому кубику, противоположна нормали к той же грани, внешней по отношению ко второму кубику, то оба потока через эту грань будут иметь противоположные знаки. Следовательно, все члены суммы относящиеся ко внутренним граням, сократятся, и сумма эта сведется к сумме потоков вектора а через одни лишь внешние грани кубиков, совпадающие

с элементами поверхности Таким образом, оказывается равной потоку вектора а через заданную поверхность стало быть,

Это выражение представляет собой теорему Гаусса: поток вектора а, являющегося непрерывной функцией точки, через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверхностью.

3. Если поверхность столь мала, что во всех лежащих внутри нее точках можно считать величиной постоянной, то в уравнении можно вынести за знак интеграла. Стало быть, поток через бесконечно малую замкнутую поверхность произвольной формы выражается той же формулой (16):

как и поток через поверхность элементарного параллелепипеда. Так как эта формула справедлива лишь в предельном случае бесконечно малой поверхности, то ее правильнее записать в следующей форме:

Правильнее всего считать эту формулу определением понятия дивергенции: дивергенция вектора а в данной точке поля есть предел, к которому стремится отношение потока вектора а через произвольную, окружающую эту точку, поверхность к ограниченному этой поверхностью объему Из этого определения дивергенции следует, что значение ее вовсе не зависит от выбора системы координат, т. е. что дивергенция вектора есть истинный скаляр. Исходя из (18) и воспользовавшись (16), мы в частном случае декартовых координат, очевидно, вновь придем к (14).

Отметим в заключение, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости имеет непосредственное физическое значение. Действительно, в каждой точке жидкости

равна рассчитанному на единицу объема количеству жидкости, вытекающей из элемента объема окружающего рассматриваемую точку. Название «дивергенция», что значит по-латыни

расхождение или расходимость, было избрано для этой величины именно потому, что жидкость растекается или расходится из тех и только тех точек или участков занимаемого ею пространства, в которых Очевидно, что в этих точках должны быть расположены источники жидкости. По аналогии, те точки поля произвольного вектора а, в которых принято называть истоками этого поля. Числовое же значение а называется силой, или обильностью, истоков поля; в зависимости от знака дивергенции сила истоков может быть как положительной, так и отрицательной. Иногда отрицательным истокам поля дают название стоков поля. Векторные поля, у которых называются свободными от источников, или соленоидальньши.

Пример 1. Определить дивергенцию вектора а, который в каждой точке поля направлен параллельно или антипараллельно радиусу-вектору проведенному в эту точку из точки О

Применим с этой целью формулу (18 к элементу объема вырезаемому из шарового слоя, ограниченного сферами радиуса Ли конусом с центром в О, который пересекается с этими сферами по дугам меридианов и дугам параллельных кругов (рис. 102).

Рис. 102

Так как, по условию, вектор а параллелен то поток его через боковую (образованную конусом) поверхность объема равен нулю. Далее, так как вырезаемый конусом элемент поверхности сферы радиуса равен

то поток вектора а через него равен

где слагающая а по направлению ибо внешняя нормаль к направлена обратно радиусу-вектору Поток же через элемент поверхности сферы радиуса вплоть до величины второго порядка малости, равен, очевидно:

Таким образом, полный поток равен

С другой стороны,

так что

Предоставляем читателю показать, что для произвольного вектора а выражение дивергенции в сферических координатах приобретает вид

где слагающие вектора по направлению возрастания координат

Пример 2. Определить дивергенцию градиента произвольной функции

Будем рассматривать радиус-вектор как функцию точки наблюдения (см. с. 589). Обозначая вектор буквой а, получаем на основании (8) и (9):

Так как остальные компоненты а равны нулю, то на основании (19)

Дивергенция имеет то же значение, ибо, как можно убедиться вычислением в декартовых координатах,

Пример 3. Определить выражение дивергенции произвольного вектора а в цилиндрической системе координат (рис. 103).

Рис. 103

Слагающие вектора а по направлению возрастания координат а обозначаются соответственно через Применим формулу (18) к объему ограниченному двумя цилиндрическими поверхностями радиусов двумя меридиональными плоскостями и двумя плоскостями, перпендикулярными оси (рис. 103). Поток вектора а через элемент цилиндрической поверхности радиуса равен для цилиндрической поверхности радиуса

он равен

(с точностью до бесконечно малых второго порядка), а сумма потоков через обе цилиндрические поверхности равна

Вычисляя аналогичным способом поток вектора через остальные элементы поверхности объема получаем

Так как то формула (18) приводит к результату: