§ 4. Электрическое поле заряженных поверхностей

1. Применение теоремы Гаусса чрезвычайно упрощает решение ряда задач электростатики. В этом параграфе мы применим ее к рассмотрению некоторых свойств поля заряженных поверхностей.

Конечно, строго говоря, заряд всегда занимает известный объем и не может быть сосредоточен на бесконечно тонкой (геометрической) поверхности. Однако слой заряда, толщина которого достаточно мала по сравнению с его расстоянием от исследуемых точек поля, можно считать зарядом поверхностным с тем же правом, с каким мы рассматриваем заряды точечные.

Плотностью поверхностного заряда о называется, как известно, заряд, приходящийся на единицу площади данной поверхности. В том случае, когда заряд распространен по поверхности неравномерно, плотностью его в данной точке поверхности называется предел отношения

где есть заряд элемента поверхности

2. Скачок нормальной слагающей вектора на заряженной поверхности. Рассмотрим произвольную заряженную поверхность Выберем произвольным образом направление внешней нормали к этой поверхности и условимся обозначать индексами 1 и 2 величины, относящиеся соответственно к внутренней и внешней (по отношению к нормали стороне поверхности.

Выделим мысленно около рассматриваемой точки заряженной поверхности прямую призму с образующими ей, перпендикулярными к поверхности. Пусть эта призма вырезает из поверхности элемент столь малый, что его можно считать плоским и равномерно заряженным (рис. 4).

Рис. 4

Внутри призмы будет находиться заряд расположенный на элементе, вырезаемом призмой из заряженной поверхности Стало быть, поток электрического вектора через поверхность

призмы по теореме Гаусса должен равняться:

С другой стороны, поток этот может быть вычислен непосредственно. Поток через нижнее основание призмы равен а через верхнее где векторы соответствующих оснований призмы, внешние нормали к этим основаниям. Поток же вектора через боковую поверхность призмы мы обозначим через N тогда

Направление нормали совпадает с направлением нормали а направление прямо противоположно. Стало быть,

где проекции векторов на нормаль Таким образом,

Будем теперь уменьшать высоту призмы не изменяя при этом ее основания Поток через безгранично уменьшающуюся боковую поверхность призмы будет стремиться к нулю как бесконечно малая второго порядка (по сравнению с так что общий поток вектора через поверхность призмы сведется в пределе к потоку через ее основания:

откуда

Стало быть, нормальные слагающие вектора в двух смежных точках поля, разделенных заряженной поверхностью разнятся на

Иными словами, нормальная слагающая вектора испытывает скачок о при прохождении через любую заряженную поверхность, независимо от формы этой поверхности и от наличия или отсутствия зарядов вне ее. Объясняется это тем, что поле поверхностных зарядов по разные стороны поверхности направлено в противоположные стороны: от поверхности, если она заряжена положительно, и к поверхности в случае отрицательного заряда.

3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости по соображениям симметрии, должна быть перпендикулярна к этой плоскости и должна иметь противоположные направления по обе стороны от нее: она направлена от плоскости если ее заряд положителен (рис. 5), и к плоскости если он отрицателен. Напряженность в различных точках поля может зависеть лишь от расстояния их от плоскости и должна быть одинаковой во всех точках любой плоскости, параллельной

Рис. 5

Выделим мысленно в поле плоскости прямую призму с основанием и с образующими, перпендикулярными к и предположим сначала, что призма эта не пересекается плоскостью т. е. находится целиком по одну сторону этой плоскости.

Вычисление потока электрического вектора через поверхность этой призмы вновь приведет нас к формуле (4.2). Приняв во внимание, что поток через боковую поверхность призмы в этом случае равен нулю (так как параллельно этой поверхности), получаем

По условию призма не пересекается заряженной плоскостью поэтому внутри нее нет зарядов и, стало быть, согласно теореме Гаусса (3.6), поток должен равняться нулю, т. е.

Так как направлены одинаково, а нормали и — противоположно, то стало быть,

Поскольку положение оснований призмы может быть выбрано произвольно, то из этого равенства следует, что во всех точках ограниченного плоскостью полупространства вектор постоянен по величине, а так как он постоянен и по направлению, то, следовательно,

В другом же полупространстве вектор будет, очевидно, иметь ту же величину и противоположное направление.

Чтобы определить можно воспользоваться формулой (4.3). В рассматриваемом случае слагающие этого вектора по направлению нормали к плоскости имеют, очевидно, по разные стороны плоскости противоположные знаки и численно равны самому вектору Поэтому получаем

где в последнем равенстве нужно взять знак плюс или минус в зависимости от того, заряжена плоскость положительно или отрицательно Следовательно, во всех точках поля бесконечной плоскости

где абсолютная величина плотности заряда этой плоскости.

4. Постараемся теперь выяснить, почему при удалении от заряженной бесконечной плоскости напряженность ее поля не убывает, а остается постоянной. Пусть точки лежат на одном перпендикуляре к плоскости (рис. 6).

Рис. 6

Рассмотрим напряженность поля, возбуждаемого в этих точках зарядами двух элементов плоскости расположенных симметрично относительно перпендикуляра на расстоянии от его основания О. В более удаленных от плоскости точках напряженность полей каждого из этих зарядов в отдельности будет меньше, чем в более близких, но зато и угол между убывает при удалении от плоскости. Поэтому, несмотря на уменьшение слагаемых при удалении от плоскости, их равнодействующая может благодаря уменьшению угла между ними не только убывать, но и возрастать в зависимости от соотношения между расстояниями и или Очевидно, что если точка А близка к О, то равнодействующая всех зарядов плоскости в этой точке определяется почти исключительно

зарядами, расположенными вблизи О, ибо напряженности полей удаленных зарядов направлены почти параллельно плоскости и в сумме дают нуль или почти нуль. По мере же удаления точки А от О параллельность эта нарушается, равнодействующая далеких зарядов увеличивается, а близких — уменьшается. В результате, как показывает непосредственное вычисление, напряженность результирующего поля всех зарядов бесконечной плоскости вовсе не меняется при удалении от этой плоскости. Вычисления этого мы приводить не будем, ибо результат его [уравнение (4.4)] был уже найден нами путем применения теоремы Гаусса.

Задача 1. Поверхность бесконечно длинного кругового цилиндра равномерно заряжена так, что на единицу его длины приходится заряд и.. Доказать, что поле внутри цилиндра и поле Ее вне цилиндра выражаются следующими формулами:

где вектор кратчайшего расстояния рассматриваемой точки поля от оси цилиндра. Показать, что скачок электрического вектора при прохождении через заряженную поверхность цилиндра равен

Задача 2. Заряд равномерно распределен по шаровой поверхности произвольного радиуса. Доказать, что поле внутри и вне шара выражается, соответственно, формулами

где радиус-вектор, проведенный из центра шара в рассматриваемую точку поля, т. е. что поле вне равномерно заряженной шаровой поверхности таково, как если бы весь ее заряд был сосредоточен в ее центре. Показать, что скачок вектора при прохождении через заряженную поверхность шара равен Атга.

Задача 3. Заряд равномерно распределен с плотностью по шаровому объему радиуса а. Показать, что поле Ее вне шара таково, как если бы весь заряд шара был сосредоточен в его центре, и что поле внутри шара прямо пропорционально расстоянию от центра шара:

или

Отметим, что в этом случае вектор всюду непрерывен.