§ 85. Вихри электрического поля

1. В § 76 мы вывели законы индукции токов в движущихся проводниках, основываясь на том, что, согласно § 45, на электрические заряды действует лоренцева сила (45.4):

второй член которой пропорционален скорости заряда и напряженности магнитного поля Затем, основываясь на принципе относительности движения, мы показали, что индукция токов должна иметь место и в неподвижных проводниках при изменениях магнитного поля, причем

где интегрирование может быть распространено по любой поверхности, опирающейся на контур проводника. Для случая неподвижных проводников поверхность эта тоже может быть

выбрана неподвижной, причем в этом случае дифференцирование по времени может быть выполнено под знаком интеграла:

Знак полной производной по времени заменен нами знаком частной производной (круглое д) для того, чтобы отметить, что есть скорость изменения во времени величины в фиксированной точке пространства.

Итак, мы приходим к заключению, что изменение магнитного поля должно вызывать в неподвижных проводниках появление сил, действующих на электрические заряды, причем циркуляция этих сил по контуру проводника, обозначаемая нами через определяется формулой (85.1).

2. В § 2 напряженность электрического поля была определена нами как сила, действующая на единичный положительный пробный заряд. Однако в § 45 мы убедились, что и в отсутствие электрического поля движущийся заряд может испытывать силу

Это обстоятельство ведет к необходимости уточнить определение напряженности электрического поля в том смысле, что равно силе, действующей на неподвижный единичный положительный заряд. Действительно, из уравнения (45.4) следует при

(предполагаем, что сторонние электродвижущие силы химического и термического происхождения отсутствуют).

Исходя из этого определения электрического поля, мы на основании относящейся к неподвижным проводникам формулы (85.1) должны заключить, что при изменениях магнитного поля в этих проводниках возбуждается поле электрическое, циркуляция напряженности которого по контуру проводника равна

Таким образом, явления индукции токов в проводниках, движущихся в постоянном магнитном поле, истолковываются нами как результат воздействия магнитного поля (лоренцева сила), тогда как индукция в неподвижных проводниках при изменениях магнитного поля истолковывается совершенно иным образом — как результат воздействия электрического поля, возбуждаемого изменениями поля магнитного. Между тем, как мы убедились в § 76, никакой объективной разницы между этими

двумя видами индукции нет, ибо понятие движения относительно. Первая из посвященных теории относительности работ Эйнштейна начинается указанием на необходимость устранения этой принципиальной разницы в истолковании двух явлений, объективно неотличимых друг от друга. Теория относительности эту задачу разрешила, о чем вкратце будет рассказано в § 115.

3. Так как, согласно уравнению (7.3), циркуляция электрического вектора поля стационарных зарядов равна нулю, то формула (85.2) останется справедливой и в том случае, если мы условимся во всем дальнейшем понимать под общую напряженность электрического поля вне зависимости от того, возбуждается ли это поле (полностью или частично) стационарными электрическими зарядами (кулоново поле) или же изменениями поля магнитного.

При выводе уравнения (85.2) предполагалось, что контур интегрирования совпадает с контуром линейного проводника. Естественно, однако, предположить, что если изменения магнитного поля возбуждают электрическое поле в проводниках, то они возбуждают его также и вне проводников. Иными словами, естественно предположить, что уравнение (85.2) применимо к любому замкнутому неподвижному контуру интегрирования вне зависимости от того, проходит ли этот контур по проводникам, по диэлектрикам или по вакууму, и что отличие проводящего контура от непроводящего сказывается лишь в том, что только в проводниках возбуждение поля ведет к появлению тока.

Итак, мы допустим, что уравнение (85.2) применимо к любому замкнутому неподвижному контуру интегрирования Предполагая, что на опирающейся на контур поверхности нет точек разрыва сплошности вектора мы можем преобразовать левую часть этого уравнения с помощью теоремы Стокса [уравнение (27]:

Это уравнение должно оставаться справедливым при любом выборе контура и поверхности интегрирования что может иметь место лишь в том случае, если

Таким образом, явления индукции приводят с необходимостью к заключению, что электрическое поле может возбуждаться не только электрическими зарядами, но и изменениями магнитного поля (впрочем, магнитное поле в свою очередь возбуждается движением электрических зарядов).

Уравнение (85.3), связывающее значение вихря электрического вектора с производной по времени от магнитной индукции, представляет собой одно из основных уравнений электромагнитного поля. Очевидно, что, повторяя рассуждения в обратном порядке, из дифференциального уравнения (85.3) можно вывести исходное интегральное соотношение (85.2).

4. Так как дивергенция ротора равна нулю [уравнение (42)], то из уравнения (85.3) следует, что

Стало быть, из (85.3) вытекает, что в каждой точке пространства В должна иметь постоянное значение, которое ни при каких физических процессах изменяться не может. Достаточно допустить, что при отсутствии токов и магнетиков магнитная индукция В (а стало быть, и во всем пространстве обращается в нуль, чтобы из (85-4) в свою очередь получить одно из фундаментальных уравнений электромагнитного поля, а именно уравнение (62.8):