§ 31. Преобразования энергии, связанные с поляризацией диэлектриков. Свободная энергия электрического поля

1. Согласно (30.5) при заданной напряженности энергия поля в диэлектрике в раз больше, чем в вакууме. Между тем, если носителем электрической энергии является электрическое

поле, как это предполагается теорией близкодействия, то, казалось бы, что энергия эта должна зависеть от напряженности поля, а не от свойств среды, находящейся в поле. В частности, при одинаковой напряженности поля энергия его должна быть одинаковой как в вакууме, так и в том случае, если в вакуум вкраплены отдельные молекулы диэлектрика. Существуют, однако, две причины, по которым плотность энергии поля в диэлектрике зависит от напряженности этого поля иначе, чем в случае вакуума.

Во-первых, в макроскопической теории под понимается средняя напряженность электрического поля (см. § 25): Так как средняя плотность электрической энергии равна

и так как средний квадрат напряженности поля, вообще говоря, не равен квадрату средней напряженности:

то истинная плотность гиэл электрической энергии в диэлектрике, вообще говоря, не выражается формулой (16.3):

Во-вторых, под энергией поля понимается вся энергия, которую нужно затратить на возбуждение поля (или, что то же, вся энергия, которая выделяется при исчезновении поля). При наличии диэлектриков вовсе не вся эта энергия целиком является электрической энергией в собственном смысле слова.

2. Действительно, рассмотрим сначала диэлектрик с квазиупругими диполями. Возникновение поля в таком диэлектрике неразрывно связано с поляризацией его молекул, т. е. с раздвиганием зарядов диполей, эквивалентных молекулам. Между зарядами каждого диполя по основному предположению действуют силы как электростатического, так и неэлектростатического происхождения, сводящиеся в совокупности к квазиупругой силе взаимного притяжения этих зарядов. Стало быть, при раздвигании зарядов диполя на расстояние I силы электрического поля совершают определенную работу, диполем же приобретается равная этой работе упругая энергия где — мера упругих сил или коэффициент упругости, диполя. Согласно (27.5) и (27.4)

где напряженность поля, действующего на диполь. То же значение будет иметь и внутренняя энергия поляризованной

молекулы. Общая же квазиупругая энергия гоупр всех молекул, находящихся в единице объема диэлектрика, будет равна

Так как под энергией электрического поля понимается вся энергия, которую нужно затратить на возбуждение поля, то полную энергию поля в диэлектрике нужно, очевидно, положить равной сумме собственно электрической энергии и неразрывно связанной с ней упругой энергии гоупр поляризованных диполей:

Если мы пренебрежем разницей между и средней напряженностью макроскопического поля и примем во внимание, что то мы получим

и

что совпадает с (30.5).

Мы привели этот вывод формулы (30.5) ввиду его большой наглядности. Однако пренебрегать разницей между Еиикро, в сущности, совершенно незаконно. Поэтому мы приведем также более строгое доказательство того, что энергия поля (30.5) в диэлектрике с квазиупругими молекулами равна сумме собственно электрической энергии поля и упругой энергии, запасенной в поляризованных молекулах диэлектрика.

3 Выделим внутри диэлектрика физически бесконечную малую сферу и разложим поле на две составляющие — поле зарядов, расположенных вне сферы и поле диполей диэлектрика, находящихся внутри Средняя плотность энергии внутри будет равна

Поле внешних зарядов, согласно (28 3), постоянно на всем протяжении сферы причем

Далее,

Следовательно, плотность энергии поля равна

а плотность взаимной энергии полей равна

Что же касается энергии поля диполей, расположенных в то общая энергия этого поля равна сумме: 1) взаимной энергии диполей, 2) собственной энергии положительных и отрицательных зарядов, входящих в состав диполей, и, наконец, 3) энергии попарного взаимодействия зарядов, входящих в состав одного и того же диполя. Согласно исходному положению теории совокупность электростатического и неэлектростатического взаимодействия зарядов каждого диполя сводится к квазиупругой силе; следовательно, энергия этого взаимодействия равна упругой энергии диполя. Собственная же энергия зарядов диполя от напряженности поля и поляризации диэлектрика не зависит; в макроскопической теории эта аддитивная постоянная во внимание не принимается. Наконец, энергия взаимодействия системы диполей равна

где напряженность поля диполя системы в месте нахождения диполя

Известная доля этой энергий взаимодействия диполей локализована вне занимаемой диполями сферы : доля эта равна интегралу — , распространенному по всему пространству вне сферы. При определении напряженности поля во внешнем пространстве можно считать электрический момент диполей равномерно распределенным по объему сферы т. е. считать эту сферу равномерно поляризованной; следовательно, согласно (24.1), поле во внешнем пространстве равно полю диполя момента где V — объем сферы Воспользовавшись формулой (10.4), получим

где оба интеграла распространены по всему пространству вне сферы Таким образом, доля взаимной энергии диполей, локализованная внутри сферы 5, равна

а плотность ее равна

Плотность упругой энергии диполей равна

где напряженность поля, действующего на диполь. Складывая полученные выражения, имеем

Очевидно, что

причем постоянно по всему объему сферы. Следовательно,

Внося это в предшествующее уравнение, получим

что, ввиду (22.6), совпадает с формулой (30.5).

4. Рассмотрим в заключение энергию электрического поля в диэлектрике с твердыми диполями. Этот случай существенно отличен от только что рассмотренного, ибо твердые диполи, в отличие от квазиупругих, не обладают запасом внутренней энергии, меняющейся в зависимости от напряженности поля. Однако, с другой стороны, нужно учесть следующее. В случае квазиупругих диполей мы вправе предполагать, что никакого взаимодействия между поляризацией диэлектрика и тепловым движением его молекул нет. В случае же молекул с твердыми диполями тепловое движение, как мы видели, оказывает существенное влияние на поляризацию, препятствуя ее насыщению. Стало быть, и обратно, возникновение поляризации, т. е. установка осей диполей по направлению внешнего поля, должна сказываться на тепловом движении молекул диэлектрика и должна быть связана с изменением энергии этого движения, т. е. с поглощением или выделением тепла.

Так, например, в газообразных диэлектриках под воздействием электрического поля ось каждого диполя (если только она не параллельна должна совершать маятникообразные колебания около направления этого поля. При соударениях молекул диэлектрика происходит частичный обмен между энергией этих колебаний и энергией поступательного теплового движения молекул, пока не установится равновесие, соответствующее определенной степени поляризации диэлектрика (зависящей как от так и от температуры).

Итак, работа внешних сил затрачиваемая на изменение напряженности поля в диэлектрике с твердыми диполями и на его поляризацию, должна идти не только на приращение собственно электрической энергии поля, но и на нагревание (или охлаждение) диэлектрика. Если же диэлектрик поддерживается при постоянной температуре, то избыток работы над изменением электрической энергии будет передан окружающим телам в форме некоторого количества теплоты

На основании второго закона термодинамики, количество теплоты передаваемое системой окружающим ее телам при

произвольном обратимом процессе, пропорционально приращению, испытываемому при этом процессе энтропией системы

где абсолютная температура системы. Стало быть,

или, так как по сделанному предположению

Как известно из термодинамики, функция состояния системы, приращение которой при обратимом изотермическом процессе равно затрачиваемой в этом процессе работе внешних сил, называется свободной энергией системы Следовательно, та часть свободной энергии единицы объема диэлектрика, которая зависит от напряженности электрического поля и поляризации диэлектрика, равна

где зависящая от поляризации диэлектрика часть энтропии единицы его объема.

Мы можем теперь уточнить смысл, вкладываемый в выражение (30.5) для плотности электрической энергии. Одним из основных постулатов макроскопической теории электричества является утверждение, что выражение

определяет собою плотность свободной энергии электрического поля в диэлектриках.

Справедливость этого постулата, как и всякого постулата вообще, может быть доказана только сравнением с опытом совокупности вытекающих из него следствий; теоретические же соображения в пользу него состоят в следующем.

Во-первых, в начале § 30 было доказано, что работа сил электрического поля при перемещениях свободных электрических

зарядов равна убыли выражения (30.1) или равного ему выражения (30.4); при этом доказательстве предполагалось, что диэлектрик неподвижен и что значение в каждой точке поля остается неизменным при перемещениях свободных зарядов. Ввиду того, что вообще говоря, зависит от температуры, постоянство означает, что диэлектрики поддерживаются при постоянной температуре, т. е. что от них отводится та теплота которая выделяется в них при изменениях поля, вызываемых перемещениями свободных зарядов. Таким образом, выводы § 30 относятся к изотермическим процессам, т. е. формулы (30.4) и (30.5) определяют свободную энергию электрического поля.

Во-вторых, в этом параграфе мы показали, что в диэлектриках, состоящих из квазиупругих диполей, поляризация которых не связана с тепловыми эффектами, выражение (30.5) плотности свободной энергии, как и должно быть, совпадает с плотностью внутренней энергии. Наконец, мы сейчас покажем, что при некоторых упрощающих предположениях непосредственное вычисление свободной энергии поля в диэлектрике с идеальными твердыми диполями приводит к выражению (30.5) или (31.4).

Рассмотрим газообразный диэлектрик столь малой поляризуемости, что различием между а также между (§ 28) в нем можно пренебречь. Молекулы диэлектрика считаем твердыми диполями. Плотность собственно электрической энергии в таком диэлектрике равна

Энтропия произвольного тела связана с термодинамической вероятностью его состояния соотношением Больцмана:

где k — постоянная Больцмана. Пусть распределение осей молекул по направлениям определяется соотношением

где число молекул, оси которых составляют с некоторым определенным направлением в пространстве угол, лежащий между Тогда логарифм термодинамической вероятности этого распределения выразится так;

В нашем случае при согласно (29.4а),

Вставим это значение в предыдущее выражение и ограничимся первыми

двумя членами разложения по степеням а:

При интегрировании можно опустить несущественную аддитивную постоянную, поскольку она не зависит от напряженности электрического поля, а весь наш расчет имеет целью вычисление только той части энтропии, которая возникает из-за действия электрического поля. Выполнив интегрирование, получим

Полагая здесь равным числу молекул в единице объема, получим логарифм термодинамической вероятности состояния для единицы объема. С другой стороны, согласно (29.3) и (29.5),

Следовательно,

Стало быть,

или, имея ввиду (22.6):

Таким образом, свободная энергия единицы объема диэлектрика равна

Итак, вообще говоря, выражение (30.5) определяет не «внутреннюю» энергию электрического поля, а его свободную энергию, являющуюся мерой работы, связанной с изотермическими и только изотермическими изменениями поля. Если же выделяемое при поляризации диэлектрика тепло не поглощается сполна окружающими телами, то работа электрических сил не равна убыли величины определяемой уравнением (30.4). Впрочем, при поляризации диэлектрика выделяется, вообще говоря, столь незначительное количество теплоты, что это обстоятельство в большинстве случаев практической роли не играет.