§ 62. Дифференциальные уравнения макроскопического магнитного поля в магнетиках. Напряженность магнитного поля в магнетиках и вектор магнитной индукции

1. В этом параграфе мы поставим себе задачу путем усреднения уравнений истинного микроскопического поля вывести уравнения для средних макроскопических значений, характеризующих поле величин При этом мы будем исходить из предположения, что для истинного микроскопического поля строго справедливы основные уравнения магнитного поля постоянных токов (47.1) и (47.3):

если под понимать точно «микроскопическое» значение плотности тока в данной точке поля. Задача же наша будет состоять в установлении уравнений, определяющих среднее макроскопическое значение вектора в физически бесконечно малом объеме (см. § 25), которое мы обозначим через Нмикро. Так как, согласно уравнению (25.2), среднее значение производных по координатам равно производным от среднего значения дифференцируемой величины, то из микроскопических уравнений поля следует:

Плотность токов в произвольной среде слагается, согласно (60.1), из токов проводимости и токов молекулярных. Среднее значение представляет собой, согласно (61.3), обычную плотность макроскопического тока в проводниках, тогда как среднее значение выражается, согласно (61.9), через ротор намагничения. Таким образом,

Внося это в (62.2), получаем

Уравнения (62.1) и (62.4) являются основными дифференциальными уравнениями магнитного поля в произвольной магнитной среде.

2. Напряженность макроскопического электрического поля по определению равна средней напряженности Емикро микроскопического поля (см. § 26). Было бы совершенно естественно аналогичным образом определить напряженность макроскопического магнитного поля.

Однако исторически укоренилось иное определение, являвшееся совершенно естественным с точки зрения представления о существовании магнитных зарядов в молекулах (см. § 73); а именно, напряженность макроскопического поля в магнетиках, которую мы в дальнейшем будем просто обозначать буквой определяется следующим соотношением:

Среднее же значение напряженности микроскопического поля носит название вектора магнитной индукции и обозначается буквой В:

Уравнение (62.4) может быть записано следующим образом:

так что в новых обозначениях оно принимает вид

а уравнения (62.1) и (62.5) принимают вид

Уравнения (62.7)-(62.9) представляют собой систему основных дифференциальных уравнений поля, которые должны быть дополнены лишь уравнениями, устанавливающими связь между намагничением I и напряженностью Связь этих величин будет рассмотрена нами в следующем параграфе. В случае отсутствия намагниченных сред совпадают между собой, и уравнения (62.7) и (62.8) совпадают с ранее выведенными уравнениями магнитного поля в вакууме (47.1) и (47.3).

Во всем дальнейшем, если не будет оговорено противное, мы под напряженностью магнитного поля будем понимать вектор, определяемый соотношением (62.5) и удовлетворяющий уравнениям (62.7) и (62.9).

При формальном сравнении уравнений электрического и магнитного полей

создается впечатление о сходстве величин с одной стороны, и с другой, тогда как по существу, как только что указывалось, аналогом напряженности макроскопического электрического поля является магнитная индукция В (равная

средней напряженности микроскопического магнитного поля), а аналогом электрической индукции напряженность макроскопического магнитного поля Это сказывается, например, в том, что, как мы убедимся в § 65, силы, испытываемые электрическими токами, определяются магнитной индукцией В, тогда как силы, испытываемые электрическими зарядами, определяются электрической напряженностью

3. Заметим в заключение, что в укоренившихся обозначениях уравнение rot А [ср. уравнение (46.2)], дающее возможность свести определение напряженности поля к вычислению вектор-потенциала, записывается следующим образом:

где под А нужно понимать, конечно, среднее макроскопическое значение вектор-потенциала. Уравнение (62.8) можно рассматривать как прямое следствие уравнения (62.10). Вектор же напряженности макроскопического поля вообще говоря, не является соленоидальным и поэтому не может выражаться ротором вспомогательного вектор-потенциала.

Наконец, дифференциальное уравнение для макроскопического значения векторного потенциала

может быть получено либо усреднением уравнения (46.5), либо же непосредственно из (61.7) таким же путем, как в § 46 уравнение (46.5) было получено из (46.1).

4. Что касается пограничных условий для магнитного поля, то они непосредственно вытекают из дифференциальных уравнений поля путем предельного перехода от случая тонких слоев конечной толщины, в которых объемные токи и намагничение I остаются конечными и непрерывными, к предельному случаю бесконечно тонких поверхностей разрыва.

Так, согласно уравнению (6.8), мы получаем из уравнения (62.8) следующее уравнение для нормальных слагающих вектора магнитной индукции В:

являющееся обобщением уравнения (49.1) на случай наличия магнетиков. Что же касается напряженности поля то дифференциальное уравнение для этого вектора сохраняет в магнитных средах тот же вид [уравнение (62.7)], что и в вакууме

[уравнение (47.3)], и, стало быть, приводит к тому же пограничному условию для его касательных слагающих [ср. уравнения (49.3) и (49.6)]:

При отсутствии поверхностных токов это уравнение может быть записано также в следующей форме [ср. уравнение