§ 29. Поляризация диэлектриков, молекулы которых обладают постоянным электрическим моментом. Зависимость диэлектрической проницаемости от температуры

1. Как уже упоминалось в § 27, если молекулы диэлектрика и в отсутствие внешнего поля обладают электрическим моментом то изменением этого момента под воздействием поля можно пренебречь. Поляризация диэлектрика обусловливается тем, что силы электрического поля стремятся повернуть оси молекул по направлению вектора т. е. стремятся упорядочить ориентацию электрических моментов молекул. Однако поляризация диэлектрика не сразу достигает максимума, соответствующего установке всех молекул по направлению поля, а возрастает пропорционально полю ибо беспорядочное тепловое движение (в частности, вращение) молекул и их взаимные столкновения стремятся нарушить упорядоченность ориентации их осей, т. е. стремятся деполяризовать диэлектрик. Таким образом, фактическая поляризация определяется соотношением между упорядочивающим воздействием поля и противоположным воздействием теплового движения. Очевидно, что поляризация диэлектриков этого класса будет резко падать с повышением температуры.

Рис. 34

2. Пусть в единице объема диэлектрика содержится молекул с постоянным электрическим моментом Опишем около произвольной точки диэлектрика сферу радиусом, равным единице, и введем на ней полярные координаты: полярный угол и — долгота, выбрав полярную ось параллельной вектору Направление момента произвольной молекулы будет характеризоваться координатами и а «следа» оси этой молекулы на единичной сфере, т. е. координатами точки пересечения поверхности этой сферы с продолжением оси молекулы (рис. 34). Если бы поле отсутствовало, то оси молекул

были бы равномерно распределены по всем направлениям. Это значит, что число молекул, след оси которых лежит на данном элементе единичной сферы, было бы пропорционально этому элементу. В частности, число молекул, полярный угол осей которых лежит в пределах от до следы которых лежат на шаровом поясе поверхности заключенном между двумя параллельными кругами должно быть равно

где с — некоторый постоянный коэффициент.

Для того чтобы определить распределение осей молекул при наличии ориентирующего их внешнего поля необходимо прибегнуть к известной теореме статистической механики, так называемой теореме Болъцмана. Теорема эта гласит: в условиях термодинамического равновесия закон распределения молекул при наличии консервативного поля сил (в нашем случае — поля электростатического) отличается от закона их распределения в отсутствие этого поля множителем где потенциальная энергия молекулы в рассматриваемом поле сил, абсолютная температура, а — универсальная постоянная Больцмана, равная

В нашем случае потенциальная энергия дипольной молекулы в электрическом поле сил равна, согласно (15.8),

Стало быть, распределение молекул определится ввиду (29.1) уравнением

где число молекул, углы осей которых с направлением поля лежат в пределах между и где введено обозначение

Таким образом, отклонение распределения молекул от равномерного, определяемое фактором тем больше, чем больше напряженность поля и чем меньше температура. Это и понятно, ибо с повышением температуры растет энергия теплового движения, нарушающего упорядоченность распределения.

3. В газах и в разбавленных растворах дипольных жидкостей можно совершенно пренебречь разницей между действующим на диполь полем (см. § 28) и средним макроскопическим полем При нормальных температурах величина а во всех практически доступных внешних полях 1) оказывается значительно меньше

единицы. Ввиду этого можно с достаточной точностью заменить фактор первыми двумя членами его разложения в ряд по степеням а. При этом (29.2) примет вид Коэффициент пропорциональности с можно определить из того условия, что общее число всех молекул в единице объема должно равняться

Следовательно, (29.2) можно окончательно записать так:

Зная, таким образом, распределение осей молекул по направлениям, нетрудно определить и их результирующий электрический момент, т. е. поляризацию диэлектрика Вектор параллелен напряженности поля поэтому числовое значение его должно равняться сумме проекций моментов всех молекул на направление Общий момент тех молекул, оси которых лежат между равен а проекция этого момента на направление равна Следовательно, поляризация диэлектрика равна

или, по внесении значения а из (29.3),

где

Следует заметить, что приведенные вычисления верны с точностью до второго порядка по параметру а включительно, а не до первого, как кажется на первый взгляд. Действительно, если в разложении функции сохранить квадратичные члены, а затем обычным способом вычислить нормировочную постоянную с, то вместо формулы (29.4) получится

или с той же точностью

После этого в выражении для добавится интеграл

который, очевидно, обращается в нуль. Этим замечанием мы воспользуемся в § 31 при разборе вопроса об энергии газообразных диэлектриков с твердыми диполями. Таким образом, учет квадратичных членов не меняет окончательное выражение для

Отметим еще раз, что применимость формул (29.5) и (29.6) ограничена условием

При нарушении этого условия в очень сильном поле или при очень низкой температуре перестает возрастать пропорционально и приближается к максимально возможному значению, соответствующему установке всех диполей по направлению поля. «Поляризация насыщения», очевидно, равна

4. Примем теперь во внимание, что в действительности молекулы всех тел, вне зависимости от того, обладают ли они некоторым постоянным электрическим моментом или нет, обладают также некоторой квазиупругой поляризуемостью Поэтому поляризация диэлектрика с твердыми диполями слагается из поляризации квазиупругой [уравнение (27.3)] и из поляризации, соответствующей упорядочению ориентации твердых диполей [уравнение (29.6)], т. е. определяется выражением

Чтобы выявить зависимость от температуры и плотности диэлектрика, выразим число молекул в единице его объема через его плотность его молекулярную массу и через универсальную постоянную Авогадро равную числу молекул в одном моле вещества. Так как и равны, соответственно, массе единицы объема и массе одного моля, то

Внося это в (29.8), получим

В этой формуле ярко проявляется тот факт, что поляризация твердых диполей не представляет собой внутримолекулярного процесса, как в случае диполей квазиупругих, а определяется соотношением между ориентирующим воздействием электрического поля и дезориентирующим воздействием теплового движения. А именно, диэлектрическая проницаемость с квазиупругими диполями при постоянной плотности от температуры не зависит, тогда как в диэлектриках с твердыми диполями обусловленная этими диполями доля поляризуемости при постоянном обратно пропорциональна абсолютной температуре.

Зависимость от выражаемая формулой (29.10), хорошо подтверждается на опыте как для диэлектриков с квазиупругими диполями , так и для диэлектриков с диполями твердыми , если исследуемые диэлектрики находятся в газообразном состоянии (о жидкостях см. ниже). В частности, пользуясь формулой (29.10), можно по измеренной зависимости от вычислить электрический момент молекулы диэлектрика; для большинства молекул с «твердыми диполями» оказывается порядка (электростатических) единиц. К тем же результатам приводит и непосредственное определение момента отдельных молекул, основанное на измерении отклонения, которое испытывает в неоднородном электрическом поле в вакууме пучок молекул, влетающих в это поле (метод Штерна).

5. Заметим, что в формулах (29.6) и (29.10) не учтено различие между средним значением напряженности электрического поля и средним значением поля, действующего на молекулы диэлектрика (см. § 28). Поэтому эти формулы применимы только в слабо поляризующихся средах В случае диэлектриков с квазиупругими диполями учет отличия действующего поля от

среднего поля приводит к формуле Лоренц-Лорентца (28.8):

которая хорошо подтверждается для диэлектрических жидкостей этого класса (поляризуемость которых а не мала по сравнению с 1).

Некоторое время было распространено предположение, что отличие действующего поля от среднего поля выражается формулой (28.6) не только в диэлектриках с квазиупругими диполями, но и в диэлектриках с твердыми диполями. Из этого предположения вытекало, что при значительном отличии а от единицы формула (29.10) должна быть заменена формулой

являющейся обобщением формулы Лоренц-Лорентца (28.9) и применимой к диэлектрикам любого класса.

Однако результаты экспериментального исследования дипольных жидкостей (вода, спирты, эфиры и т. п.) вовсе не согласуются с формулой Это вполне понятно, так как исходное для этой формулы лоренцево соотношение (28.6) между действующим и средним полями неприменимо к диэлектрикам с твердыми диполями Действительно, в диэлектриках этого класса каждая молекула (диполь) испытывает очень сильное ориентирующее воздействие со стороны смежных молекул (диполей). Хотя в отсутствие внешнего электрического поля оси молекул и распределены равномерно по всем направлениям, однако между направлениями осей смежных молекул существует определенная корреляция. Эта корреляция мало изменяется и во внешнем поле, что не учитывается формулой (29.6) 2).

6 Отметим в заключение, что электрическое взаимодействие смежных ионов играет существенную роль в своеобразных свойствах сегнетоэлектприков. К числу их относятся, во-первых, кристаллы сегнетовой соли и родственных ей веществ,

представляющих собою сложные органические соединения, и, во-вторых, ряд кристаллов типа . В определенном температурном интервале, ограниченном в случае кристаллов первого типа двумя «точками Кюри» как со стороны высоких, так и со стороны низких температур (в случае кристаллов второго типа нижняя точка Кюри отсутствует), сегнетоэлектрики обладают аномальными электрическими свойствами, подобными магнитным свойствам ферромагнетиков. Так, например, в этом температурном интервале диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков достигает в слабых электрических полях значений порядка нескольких тысяч; при увеличении поля быстро падает, а поляризация сегнетоэлектриков стремится к насыщению и