§ 70. Парамагнетизм

1. Если магнетик состоит из атомов или молекул, магнитный момент которых в отсутствие внешнего поля равен нулю то воздействие магнитного поля на магнетик исчерпывается тем диамагнитным моментом, который был рассмотрен в

предшествующем параграфе, и магнетик этот диамагнитен Если же магнитный момент атомов и молекул среды в отсутствие внешнего поля отличен от нуля то наряду с диамагнитным эффектом [возникновение добавочного момента атомов формула (69.1)] магнитное поле вызывает также перераспределение направлений магнитных моментов атомов и молекул среды. В отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты атомов ориентированы совершенно беспорядочно, так что намагничение среды равно нулю. При наличии же внешнего магнитного поля получают преобладание те направления магнитных моментов атомов, которые приближаются к направлению поля. Это намагничение магнетика по направлению поля (положительное намагничение, парамагнетизм) при всегда значительно превышает диамагнитный эффект. Поэтому все магнетики парамагнитны

2. Как мы убедились в § 68, магнитное поле непосредственно не изменяет угла наклона магнитного момента атома к направлению поля, а лишь заставляет магнитную ось атома прецессировать вокруг направления поля при том же угле наклона к нему. Если до возбуждения поля направления осей атомов были распределены хаотически, то и в магнитное поле векторная сумма моментов отдельных атомов должна остаться равной нулю. Следовательно, непосредственное воздействие поля на магнетик сводится к диамагнитному эффекту, рассмотренному в § 69.

Однако это справедливо лишь постольку, поскольку мы ограничиваемся рассмотрением свободных или изолированных атомов или молекул и вовсе не учитываем их взаимодействия. В простейшем случае идеального газа взаимодействие молекул сводится к соударениям их между собой. Что существенно нового приносит учет этих соударений?

При каждом соударении направление оси молекул будет, вообще говоря, изменяться. Акт соударения молекул настолько сложен, что мы не можем проследить его во всех деталях. Однако мы можем учесть влияние соударений, прибегнув к помощи общих принципов статистической механики, а именно — к теореме Болъцмана, согласно которой вероятность данного состояния молекулы, тем больше, чем меньше его энергия. Мы сейчас докажем, что при заданном магнитном моменте атома кинетическая энергия электронов, входящих в состав данного атома, тем

меньше, чем меньше угол между магнитным моментом атома и направлением магнитного поля. Стало быть, согласно теореме Больцмана, при наличии внешнего поля в результате соударений атомов должны получить преобладание направления магнитных осей атомов, близкие к направлению и тело должно намагнититься (парамагнитный эффект).

3. Итак, нам нужно определять изменение кинетической энергии электронов в атомах под воздействием внешнего магнитного поля Прецессия электронов в магнитном поле с угловой скоростью о вызывает изменение скорости электрона в атоме на величину

где есть расстояние электрона от ядра атома. Соответственно этому кинетическая энергия электронов в атоме изменяется на

где масса электрона, число электронов в атоме. Так как во всех доступных полях гораздо меньше то квадратом можно пренебречь:

Воспользовавшись уравнением (68.3), получаем

где К равно невозмущенному полем значению момента количества движения электронной оболочки атома. Наконец, с помощью уравнений (68.9) и (68.7) получаем окончательно

Таким образом, изменение кинетической энергии электронов в магнитном поле численно равно потенциальной энергии в этом поле магнитного диполя, момент которого равен магнитному моменту атома [см. уравнение (56.5)]. В этом вновь проявляется эквивалентность элементарного замкнутого тока и магнитного диполя, на которую мы уже неоднократно обращали внимание.

4. Для определения намагничения парамагнетиков нам остается только воспользоваться теоремой Больцмана. В § 29 мы уже пользовались этой теоремой в применении к консервативному

полю электрических сил. Теорема Больцмана остается применимой и в неконсервативном поле магнитных сил, если только в формулировке этой теоремы, приведенной в § 29, заменить потенциальную энергию молекулы приращением полной (потенциальной и кинетической) энергии молекулы в рассматриваемом поле сил.

Таким образом, мы приходим к следующей формулировке теоремы Больцмана: в условиях термодинамического равновесия закон распределения молекул по различным состояниям в случае наличия внешнего поля сил отличается от закона их распределения в отсутствие этого поля множителем причем, конечно, существенна зависимость от состояния молекулы. Иными словами, теорема Больцмана утверждает, что вероятность данного состояния молекулы тем больше, чем меньше энергия этого состояния.

В рассматриваемом нами случае так что энергия молекулы тем меньше, чем меньше угол между направлением ее момента и направлением поля Таким образом, намагничение парамагнетиков совершенно аналогично поляризации диэлектриков с твердыми диполями: фактор Больцмана , определяющий распределение осей молекул во внешнем поле, равен для парамагнитных молекул в магнитном поле для твердых электрических диполей в электрическом поле [см. уравнение (29.2)]. Поэтому в теории парамагнетизма мы можем непосредственно воспользоваться результатами теории диэлектриков с твердыми диполями.

С этой целью достаточно заменить в формулах § 29 электрические величины и соответствующими магнитными Что же касается электрической напряженности то, собственно говоря, вместо нее нужно подставить не а магнитную индукцию В, ибо именно В равно среднему значению микроскопической напряженности Нмикро [уравнение (62.6)]. Произведя эту замену в формуле (29.5), получим

откуда на основании (63.4)

Здесь означает, конечно, в отличие от (70.2) и (70.3) абсолютную температуру парамагнетика. Из (70.4) легко определить магнитную восприимчивость х. Однако восприимчивость неферромагнитных тел настолько мала, что членом можно

пренебречь по сравнению с единицей и положить, как это делается обычно,

5. Таким образом, в отличие от восприимчивости диамагнетиков [формула (69.4)], восприимчивость парамагнетиков х должна при постоянном объеме (т. е. при постоянном изменяться обратно пропорционально абсолютной температуре (ср. два класса диэлектриков, § 29). Этот характер зависимости х от был экспериментально обнаружен Кюри еще до разработки соответствующей теории и носит название закона Кюри. Закон этот хорошо оправдывается на опыте для газообразных парамагнетиков, а также для ряда твердых парамагнетиков (например для солей редких земель). С другой стороны, для многих жидких и твердых парамагнетиков изложенная элементарная теория, предполагающая свободную прецессию магнитных моментов атомов вокруг направления поля, оказывается недостаточной, и закон Кюри в этих парамагнетиках нарушается.

Впрочем, и в тех парамагнетиках, к которым это предположение применимо, должны наблюдаться и наблюдаются отклонения от закона Кюри в очень сильном поле и при очень низкой температуре (порядка нескольких градусов абсолютной шкалы). Эти отклонения вполне соответствуют ожиданиям излагаемой теории и объясняются тем, что применимость формул (70.4) и (70.5) ограничена условием

[ср. соответствующую формулу (29.7) и § 29]. При наблюдается насыщение намагничения парамагнетиков, заключающееся в нарушении пропорциональности между причем намагничение I стремится при возрастании поля к постоянному пределу Это максимально возможное намагничение соответствует установке магнитных моментов всех атомов по направлению поля (см. § 72).

Формула (70.4) позволяет вычислить значение по данным измерения величин при различных температурах Определенные таким образом значения магнитного момента парамагнитных атомов и молекул вполне соответствуют выводам квантовой теории атома.

6. Заметим в заключение, что в связи с формулами (70.2) и (70.3) законно возникает следующий вопрос. Силы магнитного поля перпендикулярны к скорости электрона и поэтому никакой работы не совершают. Каким же образом возникновение магнитного поля может изменить кинетическую энергию электронов?

Ответ заключается в том, что всякое изменение напряженности магнитного поля, в частности возникновение этого поля, возбуждает поле электрическое (см. § 85). Работой сил этого электрического поля и обусловливается изменение энергии электрона при возбуждении поля магнитного. Для полноты мы приведем здесь соответствующие выкладки, хотя нам придется при этом пользоваться некоторыми положениями, которые будут доказаны в следующей главе, так что при первом чтении книги эти выкладки можно опустить.

Усреднив движение электронов в атоме по времени обращения их по орбитам, мы можем свести движение атомных электронов к соответствующей системе замкнутых постоянных токов (квантовая механика непосредственно сводит магнитное поле атома к полю такой системы токов) Далее, произвольную систему постоянных замкнутых токов можно разложить на совокупность замкнутых нитей тока. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением одной такой нити тока или, проще, линейного замкнутого тока Работа А, совершаемая силами электрического поля над током за промежуток времени от до равна [ср. уравнение (35.5)]:

где линейный интеграл должен быть взят по контуру тока Воспользовавшись формулой (76.6), получаем

где поверхностные интегралы должны быть взяты по поверхности опирающейся на контур тока, а есть магнитный поток через этот контур. Внося это в предшествующее выражение и предполагая, что изменение тока под влиянием индукции настолько незначительно, что им можно пренебречь и вынести за знак интеграла по времени, получаем

Если в начальный момент времени магнитного поля не было и, стало быть, равнялось нулю и если на поверхности магнитное поле имеет в момент постоянное значение то

и, согласно (56.2),

Таким образом, работа электрических сил, индуцируемых при возбуждении магнитного поля, действительно равна изменению кинетической энергии электронов [уравнение (70.3)].