§ 19. Неустойчивость электрических систем. Связи

1. Для электрической теории строения материи чрезвычайную важность представляет вопрос о возможности устойчивых конфигураций электрических зарядов. Если материя состоит из электрических зарядов — электронов и протонов, то возникает вопрос, может ли система таких зарядов находиться в устойчивом статическом равновесии или же в атомах и молекулах всех тел заряды эти должны находиться в состоянии непрерывного движения?

Для наших целей достаточно будет доказать неустойчивость статической системы точечных зарядов, хотя соответствующие положения применимы и к зарядам объемным.

Как указывалось в § 18, электрическая энергия системы зарядов играет роль потенциальной энергии этой системы. С другой стороны, на основании общих положений механики условием устойчивого равновесия является минимум потенциальной энергии: стало быть, в данном случае минимум электрической энергии Энергия системы точечных зарядов, согласно (15.5), равна

и является функцией координат всех зарядов системы так как

Для того чтобы при соответствующих значениях координат функция обладала минимумом, необходимо, во-первых, чтобы первые производные по всем координатам всех зарядов обращались в нуль и, во-вторых, чтобы вторые производные от по координатам были положительны:

Но

где означает дифференциальный оператор, соответствующий пространственному дифференцированию по координатам заряда

Очевидно, что при

если либо то это соотношение все же остается справедливым ввиду (11.10). А раз так, то

Таким образом, требование, чтобы все вторые производные по координатам были положительными, невыполнимо; энергия не может обладать минимумом и, стало быть, устойчивая статическая конфигурация электрических зарядов невозможна. Это положение носит название теоремы Ирншоу.

Физический смысл этой теоремы станет ясным, если мы вспомним, что разноименные заряды притягиваются с возрастающей силой вплоть до совпадения друг с другом, т. е. вплоть до взаимной нейтрализации или уничтожения, одноименные же отталкиваются вплоть до удаления в бесконечность.

В виде иллюстрации теоремы Ирншоу рассмотрим простейший пример. Система трех зарядов

как легко убедиться, будет находиться в статическом равновесии, если заряды расположены на одной прямой в указанном порядке и если расстояние между равно расстоянию между Однако при малейшем сдвиге, например, заряда в сторону испытываемое им со стороны притяжение возрастает больше, чем отталкивание со стороны таким образом, действующие на (и на остальные заряды) силы уже не будут уравновешиваться, заряды притянутся друг к другу, а отлетит в сторону, в бесконечность.

2. Можно считать установленным экспериментально, что расстояние между частицами электричества (электронами и положительными ядрами), входящими в состав атомов материальных тел, весьма велико (порядка см) по сравнению с размерами самих частиц (не свыше см). Поэтому каждый атом можно считать системой точечных зарядов, к которой применима

приведенная формулировка теоремы Ирншоу. Так как, с другой стороны, атомы химических элементов представляют собой, несомненно, устойчивые системы, то, следовательно, построение материи из электрических частиц в пределах электростатики невозможно, и атом должен представлять собой динамическую систему. Соответствующее этому выводу представление об устойчивом периодическом (или квазипериодическом) движении электрических частиц в недрах атомов лежит в основе современной теории материи и находит себе подтверждение в целом ряде физических явлений. Правда, представление это приводит в пределах классической физики к внутренним противоречиям, ибо ускоренное движение электрических зарядов, согласно законам электродинамики, неразрывно связано с излучением электромагнитной энергии (волн), т. е. не может быть устойчивым. Однако это противоречие повело не к отказу от динамической модели атома, а к отказу от классической механики и электродинамики в пользу устраняющей это противоречие квантовой механики.

3. Обратимся к макроскопической теории электростатических явлений, составляющей основной предмет изложения настоящей главы. Согласно теореме Ирншоу, чисто электростатические системы не могут быть устойчивыми.

Чтобы избежать, однако, рассмотрения скрытого движения элементарных зарядов, макроскопическая электростатическая теория пользуется формальным представлением о добавочных силах или связях неэлектростатического происхождения, обеспечивающих требуемую устойчивость заряженных систем.

В этом отношении существует полная аналогия электростатики с механикой, широко пользующейся представлениями о связях, осуществляемых с помощью опор, закрепленных осей, нерастяжимых нитей и т. д. Конечно, подобно тому как при дальнейшем изложении механики раскрывается физический механизм связей (силы упругости), так и перед дальнейшим развитием теории электричества встает задача раскрыть физический смысл формально введенных сил связи неэлектростатического происхождения.

В пределах электростатики достаточно близкое первое приближение к действительности может быть достигнуто введением в рассмотрение двух основных родов связей, соответствующих, во-первых, идеальным проводникам и, во-вторых, идеальным диэлектрикам. Что касается проводников, то, явно не упоминая

об этом, мы фактически пользовались везде выше допущением, что на поверхности проводников существуют некоторые силы неэлектростатического происхождения, препятствующие выходу зарядов за поверхность проводника. Действительно, только эти силы обеспечивают устойчивость системы заряженных проводников; в противном случае наличие, например, уединенного заряженного проводника было бы невозможным, — элементы его заряда под влиянием взаимного отталкивания разлетелись бы в стороны и удалились в бесконечность. Пользуясь терминологией механики, мы можем назвать эти сдерживающие силы реакциями связей. Они должны быть, очевидно, равны по величине и противоположны по направлению пондеромоторным силам, действующим на поверхность проводника, плотность которых, согласно (17.2), равна

Свойствам диэлектриков будет посвящена следующая глава. О связях в диэлектриках см., в частности, § 27.