§ 108. Свободная энергия ферромагнетиков. Гистерезис

1. Вопрос об энергии намагниченных ферромагнетиков не имеет прямого отношения к содержанию этой главы. Однако мы не могли рассмотреть этот вопрос в предшествующих главах потому, что для его выяснения необходимо воспользоваться понятием потока электромагнитной энергии, с которым мы познакомились только в § 92.

Рассмотрим неподвижный ферромагнетик объема V и поверхности окруженный неферромагнитной средой. Поскольку ферромагнетик неподвижен, то пондеромоторные силы над ним работы не совершают, и энергия может поступать из окружающего пространства через поверхность внутрь занимаемого ферромагнетиком объема V только в двух формах: в форме тепла и в форме электромагнитной энергии. Стало быть, изменение за время полной энергии Иолт локализованной внутри объема V, равно

Здесь обозначает теплоту, поглощенную ферромагнетиком за время из окружающей среды, а проекцию вектора Пойнтинга на внешнюю нормаль поверхности ферромагнетика ; поэтому второй член справа равен количеству электромагнитной энергии, поступившей за время извне, через поверхность внутрь объема V (см. § 92).

К окружающей ферромагнетик неферромагнитной среде применимы результаты § 92; поэтому вектор Пойнтинга в этой среде, а стало быть, и на внешней поверхности ферромагнетика равен

Чтобы связать значения вектора Пойнтинга на поверхности ферромагнетика с электромагнитным полем внутри него, воспользуемся тем, что основные уравнения Максвелла остаются применимыми и в ферромагнетиках; нарушается применимость только уравнения и выражения электромагнитной энергии (VI). Умножая максвеллово уравнение (I) на — а уравнение (II) на — и складывая, получаем

Проинтегрировав это уравнение по объему ферромагнетика V и применив ко всем членам полученного таким образом уравнения, кроме последнего члена слева, те же преобразования, что и в § 92, получаем

Предположим, что сторонние электродвижущие силы в ферромагнетике отсутствуют (Естр Ограничимся, далее, рассмотрением бесконечно медленного изменения состояния ферромагнетика; при этом условии выделяющимся в ферромагнетике джоулевым теплом можно пренебречь. Действительно, плотность токов сопровождающих данное изменение состояния тела, обратно пропорциональна времени в течение которого происходит это изменение:

где количество электричества, протекшего в течение всего процесса через единицу сечения тела. Поэтому джоулево тепло выделенное в единице объема тела за все время процесса, обратно пропорционально длительности процесса

Таким образом, при сделанных предположениях можно пренебречь последним интегралом справа в выражении для потока электромагнитной энергии, так что уравнение (108.1) приобретает

Из полной энергии локализованной в объеме ферромагнетика, можно выделить электрическую энергию:

В дальнейшем мы будем рассматривать только энергию а не Иполн, и будем для краткости называть ее энергией ферромагнетика. Однозначное же выделение из магнитной энергии невозможно, ибо последний член справа в уравнении (108.2) не является в ферромагнетиках полным дифференциалом характеризующих его состояние величин.

Впрочем, мы покажем в дальнейшем, что если в ферромагнетике отсутствует гистерезис, то из его свободной энергии можно рациональным образом выделить свободную энергию магнитного поля [см. уравнение (108.6)].

2. До сих пор наши рассуждения носили совершенно общий характер. Для дальнейшего же необходимо раздельно рассмотреть среды, обладающие магнитным гистерезисом и не обладающие таковым. Допустим сначала, что среда не обладает ни гистерезисом, ни «постоянным» намагничением, т. е. что напряженность магнитного поля в среде является однозначной функцией магнитной индукции В и температуры (при заданном объеме или плотности среды) и что при .

Это имеет место не только в диа- и парамагнетиках, но и в чистых недеформированных ферромагнитных монокристаллах

и, наконец, с достаточной степенью точности осуществляется в некоторых сортах мягкого железа и в некоторых технических сплавах (например, в пермаллое).

В случае отсутствия гистерезиса процесс намагничения среды (при условии достаточной его медленности) протекает обратимо. Количество теплоты поглощенное телом при обратимом процессе, как известно, равно

где абсолютная температура, приращение энтропии тела Внесем это выражение для в (108.2) и предположим, кроме того, что уравнение это, доказанное для изменения энергии всего ферромагнетика, остается справедливым и для изменения энергии каждого из элементов его объема. В результате получим следующее уравнение для изменения плотности энергии ферромагнетика:

где означает удельную энтропию единицы объема тела.

Для многих целей удобно выразить плотность энергии через свободную энергию единицы объема связанную с известным термодинамическим соотношением

Из (108.3) и (108.4) следует основное для интересующего нас круга вопросов соотношение

Пусть означает плотность свободной энергии среды при Интегрируя уравнение (108.5) при постоянной от до произвольно заданного значения В, получаем

Ввиду однозначной зависимости от интеграл справа является однозначной функцией параметров состояния Таким образом, при отсутствии гистерезиса плотность свободной энергии среды может быть разложена на часть зависящую только от температуры и нас здесь не интересующую, и на часть

которая и называется плотностью свободной энергии магнитного поля. В частном случае пара- и диамагнетиков и (108.8) эквивалентно уже знакомому выражению

В ферромагнетиках же, даже не обладающих заметным гистерезисом, зависимость от В, а следовательно, и от В, вообще говоря, весьма сложна.

Так как работа пондеромоторных сил магнитного поля, совершаемая в изотермическом процессе, равна убыли в этом процессе свободной энергии магнитного поля, то, зная можно определить и пондеромоторные силы магнитного поля (ср. § 83).

3. Заметим, что часто плотностью свободной энергии ферромагнетика называют не величину определенную уравнениями (108.4) и (108.5), а величину равную

Так как

то

и поэтому на основании (108.5)

Еще чаще плотностью свободной энергии ферромагнетика называют величину

полный дифференциал которой равен

и которой, действительно, часто удобнее всего пользоваться в приложениях. Эта путаница в терминологии весьма прискорбна; существенно, однако, что величины являются равноправными характеристическими функциями состояния среды в смысле термодинамики, т. е. являются однозначными функциями состояния среды, и приращения, испытываемые ими при произвольном процессе, являются полными дифференциалами в переменных, характеризующих состояние среды. В качестве такой переменной может быть выбрано наряду с температурой либо В, либо I, либо Этим трем возможностям соответствует

выбор в качестве характеристической функции состояния одной из величин

4. Если среда обладает гистерезисом, то между не существует однозначной функциональной зависимости, процесс намагничивания протекает необратимо, и состояние среды не может быть однозначно охарактеризовано такими параметрами, как , ибо оно существенно зависит не только от мгновенного значения этих параметров, но и от предыстории среды. Поэтому к средам с гистерезисом применима лишь формула (108.2), но не формула (108.3) и последующие.

Ограничимся кратким рассмотрением гистерезиса в тех случаях, когда данный ферромагнетик уже неоднократно подвергался в прошлом намагничению и размагничению. Пусть намагничивающее поле достигало при этом в двух противоположных направлениях (например, по оси х против этой оси) некоторого максимального значения Ямакс. В этом случае состояние ферромагнетика при последующих изменениях в пределах от до и обратно (при условии, что остается параллельным и антипараллельным оси может быть, как известно, изображено диаграммой рис. 88. Каждому значению напряженности поля соответствуют в данном случае два значения индукции В в зависимости от того, предшествовали ли этому полю поля меньшие (точка а) или большие (точка Таким образом, точка, изображающая на диаграмме состояние ферромагнетика, пробегает при изменениях поля замкнутую петлю гистерезиса в направлении, указанном на рис. 88 стрелками.

Рис. 88

Если система совершит полный цикл, т. е. если изображающая ее состояние точка, пробежав всю петлю гистерезиса,

вернется в исходное положение, то система вернется в исходное состояние (предполагается, что процесс происходит при постоянной температуре). В частности, входящая в уравнение (108.2) энергия ферромагнетика примет в конечном состоянии исходное значение. Поэтому, интегрируя уравнение (108.2) вдоль замкнутой петли гистерезиса, получаем

где означает алгебраическую сумму количеств теплоты, отданных ферромагнетиком внешней среде в течение полного цикла. Интеграл существенно положителен, ибо в большей части цикла параллельны друг другу, следовательно, и — так называемое тепло гистерезиса, также положительно. Если обозначить через тепло гистерезиса, отнесенное к единице объема ферромагнетика, то (108.10) можно представить в следующем виде:

Последнее равенство написано на основании того, что разность

является полным дифференциалом и, следовательно, интеграл этой разности по замкнутой петле гистерезиса равен нулю.