§ 5. Проводники в электрическом поле

Физический смысл изучения поля поверхностных зарядов коренится в том обстоятельстве, что в случае электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются в весьма тонком поверхностном слое, который в громадном большинстве случаев можно с достаточной точностью считать бесконечно тонким. Ведь и непосредственно ясно, что если сообщить металлическому телу, например, отрицательный заряд (избыток электронов), то благодаря взаимному отталкиванию элементов этого заряда (электронов) они сосредоточатся на его поверхности. Строгое же доказательство этого утверждения можно дать на основании того факта, что в случае электростатического равновесия электрическое поле внутри проводника равно нулю.

Действительно, проводник есть тело, отличающееся следующим свойством: если в какой-либо точке внутри проводника напряженность электрического поля Е отлична от нуля, то в проводнике возникает электрический ток, т. е. движение зарядов. Это свойство можно рассматривать как определение термина «проводник электричества».

С точки зрения электронной теории важнейшего класса проводников — металлов — это свойство объясняется тем, что если металл находится в твердом (или жидком) состоянии, то часть электронов, входящих в состав его атомов, отщепляется от этих атомов. Оставшиеся после отщепления этих «свободных» электронов положительные ионы металла образуют его твердый скелет (кристаллическую решетку), в промежутках же между ионами находятся «свободные» электроны в форме своего рода «электронного газа». Сколь угодно слабое внешнее электрическое поле вызывает движение этих «свободных» электронов в направлении действующих на них сил, т. е. вызывает электрический ток. Ток течет до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, т. е. пока поле зарядов, перераспределившихся по объему проводника, не скомпенсирует внешнего поля.

Так как электрический вектор внутри проводника равен нулю, то равен нулю и поток этого вектора через любую замкнутую поверхность, расположенную внутри проводника. Стало быть, по теореме Гаусса, равен нулю и заряд, расположенный внутри всякой такой поверхности. А это и значит, что в случае электростатического равновесия зарядов внутри проводника нет (вернее, что положительные и отрицательные заряды внутри него взаимно нейтрализуются) и что все заряды расположены на его поверхности.

Таким образом, поле заряженного металлического цилиндра или шара определяется теми же формулами (4.5) и (4.6), что и поле соответствующей заряженной поверхности. В согласии с упомянутым общим законом из этих формул, в частности, следует, что внутри металлического заряженного шара или цилиндра Что же касается формулы (4.3), то для случая зарядов, расположенных на поверхности проводника, формула эта значительно упрощается. Так как внутри проводника то она принимает вид

где проекция электрического вектора в непосредственной близости к поверхности проводника на направление внешней нормали к его поверхности.

Таким образом, в случае электростатического равновесия нормальная слагающая напряженности поля вблизи проводника определяется только плотностью о заряда на прилегающем элементе его поверхности и вовсе не зависит от распределения зарядов в других участках поля, а тангенциальная равна нулю.

Пример. Определить поле между пластинами бесконечного плоского конденсатора. Поле между пластинами бесконечного плоского конденсатора по соображениям симметрии должно быть направлено перпендикулярно к его пластинам и должно быть одинаковым во всех точках любой параллельной им плоскости. Как и в рассмотренном случае поля бесконечной плоскости, из этого обстоятельства следует, что поле между пластинами конденсатора однородно, т. е. что вектор постоянен по величине и направлению во всех точках этого поля. Согласно же уравнению (5.1), числовое значение вектора поверхности пластин равно

(ввиду того, что Стало быть, таково будет значение и во всем пространстве между пластинами.

Очевидно, что в уравнении (5.2) под и можно понимать плотность поверхностного заряда как положительной, так и отрицательной пластин конденсатора. Так как, с другой стороны, вектор имеет в пространстве между пластинами одно вполне определенное значение, то, следовательно, в случае электростатического равновесия абсолютная величина плотности заряда на обеих пластинах должна быть одинаковой.

Все эти результаты можно также непосредственно получить из уравнения (4.4). Поле конденсатора есть равнодействующая полей двух заряженных бесконечных плоскостей, а именно внутренних поверхностей пластин конденсатора Стало быть, причем -Как явствует из рис. 7, внутри каждой из металлических пластин векторы направлены противоположно, а между

пластинами одинаково. Так как внутри пластин должно равняться нулю (проводник!), то стало быть, а

Поэтому в пространстве между пластинами что и требовалось доказать.

Таково же будет и поле между пластинами плоского конденсатора конечных размеров, если только расстояние между пластинами будет мало по сравнению с их размерами. Искажение поля, нарушение его однородности станет заметным лишь у краев конечного конденсатора, на расстояниях от краев, сравнимых с расстоянием между пластинами.

В случае конденсатора конечных размеров общий заряд каждой пластины конечен и (средняя) плотность ее поверхностного заряда равна

где поверхность пластины. Таким образом, уравнение (5.2) принимает вид

Задача 4. Показать, что в полости цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра) напряженность поля определяется формулой (4.5):

где — заряд единицы длины внутреннего цилиндра, причем заряд единицы длины внешнего цилиндра равен —

Задача 5. Показать, что в полости шарового конденсатора (две концентрические сферы) поле определяется формулой (4.6):

заряд внутренней сферы, причем заряд внешней сферы равен

Рис. 7