§ 78. Квазистационарные токи. Дифференциальные уравнения переменных токов

1. Закон электромагнитной индукции (77.1) играет чрезвычайно важную роль для всего учения о переменных токах. Переходя к изучению этих токов, мы во всей этой главе ограничимся рассмотрением токов квазистационарных.

Переменные токи называются квазистационарными в том случае, если с достаточной степенью точности можно принять, что магнитное поле этих токов, силы пондеромоторного взаимодействия между ними и т. д. в каждый данный момент времени имеют то же значение, какое имели бы эти величины в случае постоянных (стационарных) токов той же силы, как и мгновенная сила переменных токов. Очевидно, что переменные токи могут удовлетворять условиям квазистационарности лишь в том случае, если, подобно токам постоянным, они будут замкнутыми и будут обладать одинаковой силой во всех сечениях неразветвленных участков цепи, что для переменных токов вообще не обязательно (§ 88).

Далее, необходимо принять во внимание, что изменения электромагнитного поля, обусловливаемые изменением силы токов и изменением распределения электрических зарядов, распространяются не мгновенно, а с конечной скоростью (§ 97). Поэтому в каждый данный момент напряженность поля переменных токов, строго говоря, соответствует не мгновенному значению силы этих токов, заряда конденсаторов и т. д., а тем значениям, которыми обладали эти величины в некоторый предшествующий

момент времени при этом равно времени, необходимому для распространения электромагнитных возмущений от соответствующих участков цепи до рассматриваемой точки поля.

Таким образом, поле переменных токов может удовлетворять условиям квазистационарности лишь в ограниченной области пространства в непосредственной близости от этих токов и притом, очевидно, лишь в том случае, если сила токов, заряды конденсаторов и т. д. не изменяются сколько-нибудь значительно за тот промежуток времени который требуется для распространения электромагнитных возмущений между двумя наиболее удаленными точками рассматриваемой системы токов.

Таким образом, основным условием квазистационарности является достаточная медленность изменений поля, которая, как мы убедимся в § 88, гарантирует также и приближенную замкнутость переменных токов.

Практически те переменные токи, с которыми имеет дело техника сильных токов (десятки, сотни и тысячи периодов в секунду), с достаточной степенью точности удовлетворяют условиям квазистационарности; к быстрым же электрическим колебаниям, применяющимся в радиотехнике, теория квазистационарных токов оказывается, вообще говоря, неприменимой или применимой лишь с известными ограничениями.

2. Чтобы рассмотреть следствия, вытекающие из установленного в предшествующем параграфе закона индукции, нам достаточно будет ограничиться случаем двух замкнутых неразветвленных контуров тока находящихся в или парамагнитной среде; среды ферромагнитной мы пока рассматривать не будем.

Напишем для каждого из контуров тока уравнения (77.2) и (77.3):

С другой стороны, поток индукции пронизывающий, например, контур первого тока равен сумме среднего потока посылаемого им самим через свой собственный контур и потока посылаемого через его контур вторым током причем, согласно уравнению (65.6),

где суть коэффициенты само- и взаимоиндукции. Этими выражениями, выведенными для токов постоянных, мы можем воспользоваться и для токов переменных в случае их квазистационарности

Внося их в уравнение (77.1), получим значение электродвижущей силы индукции в первом контуре

и аналогичное уравнение для второго контура. Таким образом, электродвижущая сила индукции в первом контуре будет зависеть как от скорости изменения силы токов и , так и от скорости изменения коэффициентов индукции

В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда контуры находятся в однородной внешней или парамагнитной среде. При этом условии значения коэффициентов и определяются геометрической конфигурацией контуров [см. уравнение (65.7), а также с. 236], следовательно, значения производных и зависят лишь от изменения этой конфигурации, т. е. от характера перемещения контуров При этом зависит лишь от изменения формы первого контура (если контур не деформируется, то постоянно) и от изменения взаимного расположения контуров

По внесении уравнения (78.2) и соответствующего выражения для в уравнения (78.1) мы получим два линейных дифференциальных уравнения для из которых можно определить в функции от времени, если только суть известные заданные функции времени. В частности, если контуры обоих токов неподвижны друг относительно друга и не подвергаются деформации, то коэффициенты индукции будут постоянными, и для будет иметь место следующая система линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

3. Рассмотрим в заключение частный случай индукции токов в контуре который без деформации перемещается в постоянном магнитном поле, например в поле постоянного тока Строго говоря, появление индукционного тока в контуре влечет за собой возбуждение соответствующего

магнитного поля, что в свою очередь должно возбуждать вторичные индукционные токи в контуре Таким образом, предположение о постоянстве внешнего магнитного поля сводится, в сущности, к предположению, что сила вторичного тока, индуцируемого в контуре 1/2, столь мала по сравнению с постоянной слагающей тока что током этим можно полностью пренебречь. При этом условии формула (78.2) примет вид

4. Формулы (78.2) и (78.3) играют чрезвычайно важную роль в учении о переменных токах вообще и в электротехнике в частности. Область их применения весьма обширна; к ней относится теория динамомашин, трансформаторов, электроизмерительных приборов и т. д. Отсылая читателя за всеми подробностями к специальным сочинениям, мы ограничимся рассмотрением лишь нескольких примеров в § 80 после ознакомления с вопросом о магнитной энергии токов.