§ 77. Закон электромагнитной индукции. Закон Ома для переменных токов

1. В предшествующем параграфе мы рассмотрели индукцию токов при движении замкнутого проводника в заданном внешнем магнитном поле Предположим теперь, во-первых, что это поле возбуждается током, циркулирующим в некотором неподвижном контуре во-вторых, что контур движется

равномерно с постоянной скоростью Примем, далее, во внимание, что понятия покоя и равномерного движения относительны и что, согласно принципу относительности, взаимодействие двух равномерно движущихся тел (в данном случае контуров может зависеть только от относительной, но не абсолютной скорости этих тел. Отсюда следует, что если, например, контур неподвижен, а контур движется с постоянной скоростью, то явления индукции токов в контуре должны оставаться прежними.

Стало быть, электродвижущая сила индукции, индуцированная в контуре должна определяться формулой (76.6) и в том случае, если контур этот остается неподвижным, а изменение магнитного потока через него обусловливается равномерным движением тока возбуждающего поле

2. Проведем только что изложенное рассуждение в более развернутой форме. Поскольку мы оперируем принципом относительности, нам нужно прежде всего установить, в какой или в каких системах отсчета справедливы изложенные нами в предшествующих главах законы электродинамики.

Законы эти были установлены на основании экспериментов, при которых, как и в большинстве физических экспериментов, отсчет движения производился относительно Земли. Однако более точные измерения показали, что законы электродинамики, как и законы ньютоновой механики, лишь приближенно справедливы в земной системе отсчета и строго справедливы лишь в так называемых инерциалъных системах отсчета, т. е. в системах, в которых движение по инерции происходит согласно первому закону Ньютона. В частности, систему отсчета, связанную с «неподвижными» звездами, можно, как известно, с достаточной степенью точности считать системой инерциальной.

Далее, согласно принципу относительности движения, все равномерно движущиеся относительно друг друга системы отсчета являются совершенно равноправными, и законы всех физических явлений должны быть одинаковыми при пользовании отсчетами, произведенными в любой из этих систем. Стало быть, помимо системы неподвижных звезд, все равномерно движущиеся относительно нее системы отсчета также являются инерциальными и во всех них должны быть справедливы одни и те же законы электродинамики. В дальнейшем, если не будет оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что измерения электромагнитного поля и отсчет положения зарядов, проводников и т. д. производятся в некоторой определенной инерциальной системе К.

После этого отступления вернемся к нашей задаче Нами предполагалось, что в некоторой инерциальной системе К контур по которому циркулирует постоянный ток неподвижен, а контур движется с постоянной скоростью v (первый случай). Далее рассматривался второй случай, когда неподвижен в системе К, а движется с постоянной скоростью Пусть инерциальная система К движется относительно К с той же скоростью Условия второго случая при наблюдении его относительно системы К идентичны с условиями первого случая относительно системы К. Поэтому явления индукции в в обоих рассматриваемых случаях должны оказаться совершенно одинаковыми, если в первом случае измерения производятся в системе отсчета К, а во втором — в системе К. Наконец, результаты, которые получатся при измерении индукции во втором случае относительно системы К, могут быть определены из результатов измерения этого же случая в системе К путем пересчета по правилам, устанавливаемым в теории относительности. В результате этого пересчета явления индукции в двух рассматриваемых случаях при измерении их в обоих случаях в одной и той же системе отсчета К окажутся несколько различными. Однако это различие становится сколько-нибудь существенным лишь при очень больших скоростях сравнимых со скоростью света с. При с этим различием можно вовсе пренебречь, и мы приходим к утверждению, высказанному в начале параграфа.

3. Итак, электродвижущая сила индукции в контуре должна определяться формулой (76.6) при любом равномерном движении контура относительно тока возбуждающего поле

Естественно предположить, что уравнение это остается применимым и в том случае, если движется неравномерно (относительно инерциальной системы). Более того, мы предположим, что формула (76.6) остается справедливой и в том случае, если изменение магнитного потока через контур обусловливается не только движением или движением контура несущего постоянный ток, но также и замыканием и размыканием тока в изменением его силы (переменный ток) и иными словами, мы предположим, что формула (76.6) применима вне зависимости от характера причин, обусловливающих изменение магнитного потока Это предположение вполне соответствует духу теории близкодействия и теории поля вообще, ибо оно, в сущности, сводится к допущению, что все электромагнитные явления в данном теле или в данном участке пространства Определяются напряженностью поля (и производными по времени) в этом участке пространства и вовсе не зависят от способа возбуждения поля.

Резюмируем: исходя из выражения для лоренцевой силы (45.3), установленного на основании результатов изучения постоянных токов, мы вывели закон индукции токов в контуре, движущемся в постоянном магнитном поле. Обобщая, далее, область применимости этого закона на оснований соображений,

связанных с принципом относительности и с понятием поля, мы предположили, что формула (76.6) имеет универсальное значение, т. е. что она применима вне зависимости от характера причин, обусловливающих изменение магнитного потока Опыт показывает, что предположение наше соответствует действительности.

4. В предшествующем нами неявно предполагалось, что рассматриваемые проводники находятся в вакууме вдали от других тел; только при этом условии можно утверждать, что явления индукции зависят лишь от относительной скорости проводников, а не зависят, например, от скорости проводников относительно магнитной среды. Отказавшись теперь от этого ограничения, допустим, что окружающее проводники пространство заполнено произвольными магнетиками и что сами проводники тоже способны намагничиваться, и зададимся вопросом, как скажутся эти факторы на форме закона индукции [уравнение (76.6)].

Как выяснилось в предшествующей главе, магнитные свойства вещества обусловливаются наличием в нем молекулярных токов Значит, если закон индукции [уравнение (76.6)] применим в отсутствие магнетиков, то он должен оставаться справедливым и при наличии магнетиков при том, конечно, условии, что при подсчете потока наряду с магнитным полем макроскопических токов в проводниках будет учитываться также и магнитное поле молекулярных токов, циркулирующих в магнетике. Иными словами, входящий в уравнение (76.6) вектор напряженности макроскопического поля нужно заменить средним значением напряженности микроскопического магнитного поля Нмикро.

В § 62 мы убедились, что среднее значение напряженности микроскопического поля в магнитных средах равно вектору магнитной индукции В [уравнение (62.6)]:

Заменяя поэтому в уравнении (76.6) через В и воспользовавшись обозначением для потока магнитной индукции [уравнение (65.3)], получим окончательный вид закона индукции токов, применимый в произвольной магнитной среде:

Закон этот гласит, возбуждаемая в произвольном замкнутом контуре электродвижущая сила индукции численно равна деленной на с скорости изменения потока магнитной индукции через этот контур, причем направление составляет с направлением возрастания потока левовинтовую систему [знак минус в формуле

Опытные исследования вполне подтверждают справедливость формулы (77.1)

5. Обычно электродвижущая сила индукции в замкнутых контурах определяется не путем непосредственного измерения, а косвенно, на основании измерения силы тока в них. Определение это основывается на допущении, что законы Ома и Кирхгофа, установленные для токов постоянных, остаются справедливыми и для токов переменных. При этом, конечно, в формулировке этих законов, помимо сторонних электродвижущих сил, обусловленных физико-химическими неоднородностями проводника (контактные, термоэлектрические и прочие электродвижущие силы), необходимо учесть также и электродвижущие силы индукции В частности, если мы здесь в отличие от гл. III не будем включать электродвижущую силу индукции в понятие сторонних электродвижущих сил, то сила тока в неразветвленном проводнике выразится, согласно уравнению (38.6), формулой

где сопротивление контура, а <стр и суть циркуляции по контуру испытываемых электрическими зарядами сил «стороннего» и индукционного происхождения [уравнения (38 7) и (76.4)]

Являющаяся одним из исходных пунктов предшествующих рассуждений формула (76.4) представляет собой частный случай формулы (77.2), соответствующий сделанному в начале § 76 предположению, что

В дальнейшем мы убедимся, что формула (77.2) оказывается непосредственно применимой к переменным токам лишь в том случае, если токи эти удовлетворяют условиям квазистационарности (§ 78 и 96).

6. На основании уравнения (77.1) формула (77 2) может быть записана так:

Рис. 70

Как уже указывалось, знак минус перед членом в уравнениях (77.1) и (77.3) означает, что направление а стало быть, и направление индукционного тока составляют с направлением возрастания потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 70).

Индукционный ток в свою очередь возбуждает в окружающем пространстве соответствующее его силе магнитное поле направление силовых линий которого составляет с направлением тока правовинтовую систему (§ 53). Отсюда следует, что поток вектора магнитной индукции этого поля через контур тока направлен в сторону, противоположную возрастанию потока внешнего поля, индуцирующего ток Стало быть, мы вправе высказать следующее общее положение: при всяком изменении потока магнитной индукции через замкнутый проводящий контур в нем индуцируются токи в таком направлении, что магнитное поле этих токов стремится компенсировать изменение потока магнитной индукции через контур проводника, т. е. стремится удержать постоянным поток