§ 56. Магнитный момент тока. Элементарные токи и магнитные диполи

1. В § 20 мы убедились, что электрическое поле нейтральной системы зарядов (т. е. системы зарядов, алгебраическая сумма которых равна нулю) на больших расстояниях от системы

определяется (с точностью до членов, более быстро спадающих с расстоянием) единственным параметром — электрическим моментом системы и что тем же параметром определяются и силы, испытываемые этой системой зарядов во внешнем электрическом поле. Аналогично этому и произвольный замкнутый ток при известных условиях характеризуется одним единственным параметром носящим название магнитного момента тока.

Будем называть элементарным током замкнутый ток, удовлетворяющий следующим требованиям: 1) размеры контура тока исчезающе малы по сравнению с его расстоянием до тех точек поля, в которых мы рассматриваем его поле, и 2) на всем протяжении замкнутого тока значения величин, характеризующих внешнее поле (точнее, значение напряженности этого поля и значение пространственных производных этой напряженности можно считать постоянными. Очевидно, что при определенных условиях любой замкнутый ток может рассматриваться как элементарный.

Согласно результатам предыдущего параграфа всякий постоянный ток эквивалентен магнитному листку как в активном (возбуждаемое им поле), так и в пассивном (испытываемые им силы) отношениях. Что же касается элементарного тока, то он эквивалентен простейшему магнитному листку — магнитному диполю.

Действительно, рассмотрим магнитный листок или магнитный двойной слой мощности эквивалентный данному току Каждая пара противоположных элементов двойного слоя, обладающих зарядом представляет собой магнитный диполь момента [см. уравнение (55.1)]

(вектор направлен по положительной оси 1 этого диполя). Если выполняются условия, при которых рассматриваемый ток может считаться элементарным, то как при определении поля, возбуждаемого эквивалентным току двойным слоем, так и при определении действующих на него сил можно пренебречь различием в положении отдельных элементов двойного слоя и заменить весь слой одним магнитным диполем момента

Обозначим через векторную величину площади листка, т. е. векторную сумму элементов этой площади:

Так как эквивалентный току листок опирается на контур этого тока, то есть не что иное, как векторная величина площади,

охватываемой током. На основании (56.1) предшествующее уравнение приобретает вид

Таким образом, элементарный ток эквивалентен магнитному диполю, момент которого, определяемый формулой (56.2), называется также магнитным моментом тока.

2. Заметим, что числовое значение векторной величины произвольной поверхности вообще говоря, меньше площади этой поверхности; лишь в случае плоской поверхности обе эти величины равны друг другу. В частности, векторная величина произвольной замкнутой поверхности тождественно равна нулю, в чем легко убедиться, рассматривая проекцию замкнутой поверхности на произвольную плоскость. Отсюда следует, что векторные величины двух произвольных поверхностей, опирающихся на один и тот же контур могут отличаться друг от друга только знаком (зависящим от выбора направлений внешних нормалей к ним). Действительно, совокупность двух таких поверхностей (при надлежащем выборе направлений нормалей) образует одну замкнутую поверхность, так что

3. Таким образом, магнитный момент тока [уравнение (56.2)] не зависит от произвольного выбора формы поверхности опирающейся на контур этого тока. Направление же нормали к этой поверхности а стало быть, и направление магнитного момента тока должно образовывать правовинтовую систему с направлением тока в контуре Действительно, нормаль к двойному слою, эквивалентному данному току, с одной стороны, образует правовинтовую систему с направлением тока (см. § 55, в частности рис. 59), а с другой стороны, согласно (56.2), определяет собой направление вектора

4. По аналогии с (8.10) скалярный потенциал поля магнитного диполя, очевидно, равен

а напряженность этого поля

[ср. формулу (10.4)].

По доказанному, то же значение будет иметь и напряженность тока момента на расстояниях от этого тока, значительно превышающих его размеры.

Далее потенциальная энергия магнитного диполя во внешнем поле по аналогии с (15.8) равна

а равнодействующая и результирующий момент приложенных к нему сил по аналогии с (18.8) и (18.11) равны

Ввиду равенства сил, действующих на элементарный ток и на магнитный диполь одинакового момента формулы эти применимы и к элементарному току.

5. Впрочем, последнее утверждение нуждается в известной оговорке.

Доказывая в § 55, что потенциальная энергия магнитного листка во внешнем поле равна потенциальной функции эквивалентного листку тока, мы основывались на допущении, что внешнее поле возбуждается токами, не пересекающими поверхности листка (т. е. не пересекающими контура эквивалентного листку тока). Только при этом условии можно рассматривать внешнее поле на протяжении листка как поле потенциальное, обладающее магнитным потенциалом и только при этом условии можно вообще говорить о потенциальной энергии магнитного листка во внешнем поле. Чтобы освободиться от этого ограничения на источники внешнего поля, мы должны независимо вычислить силы, действующие на магнитный листок и на ток. Начнем с последних.

Применимость уравнений (50.1) и (50.4)

определяющих потенциальную функцию тока, не связана упомянутым ограничением. В случае элементарного тока напряженность внешнего поля можно, по определению, считать постоянной на всем протяжении тока и вынести ее за знак интеграла. На основании (56.1) и (56.2) получаем

Таким образом, формулы (56.5), а стало быть, и формулы (56.6) и (56.7) применимы к элементарному току без всяких дополнительных ограничений.

Иначе обстоит дело с магнитным диполем. В § 17 мы путем непосредственного подсчета сил, действующих на заряды электрического диполя в произвольном электрическом поле нашли следующее выражение для результирующей этих сил [уравнение (17.5)]

Затем в § 18 мы показали, что

Таким образом, только при условии т. е. только в потенциальном электрическом поле, испытываемая диполем сила выражается взятым с обратным знаком градиентом его потенциальной энергии Соответственно этому сила, испытываемая магнитным диполем в произвольном внешнем поле равна

Это выражение совпадает с (56.6) только при т. е. только при условии, что в местах нахождения диполя плотность возбуждающих внешнее поле токов равна нулю [ср. уравнение (47.3)].

Таким образом, это последнее условие является также условием тождественности сил, действующих на элементарный ток и на эквивалентный ему магнитный диполь.

Это условие оказывается, однако, излишним для тождественности момента сил действующих на ток и на диполь; тождественность эта всегда обеспечена, что явствует из сравнения формулы (56.7) с формулой (17.6), применимой к диполю в произвольном внешнем поле.