§ 75. Пондеромоторные силы, испытываемые постоянными магнитами во внешнем магнитном поле

1. В § 73 и 74 мы применяли для вычисления действующих на магнит сил формулу (73.16), написав ее по аналогии с электростатикой. Теперь мы дадим надлежащее обоснование этой формуле

Строгий вывод выражения для пондеромоторных сил, действующих в магнитном поле, будет дан в § 83. Однако в основу этого вывода будет положено определенное выражение для энергии магнитного поля, справедливое

лишь для неферромагнитных сред. Поэтому результаты § 83 к постоянным магнитам непосредственно неприменимы. Если, однако, мы откажемся от рассмотрения внутренних натяжений, вызываемых в постоянных магнитах внешним магнитным полем, и ограничимся определением, во-первых, равнодействующей сил, приложенных к магниту, и, во-вторых, результирующего момента этих сил, то для однозначного решения этой задачи вполне достаточно результатов § 33 и 84.

Действительно, пондеромоторные силы электромагнитного поля могут быть сведены к натяжениям (см. § 33 и 84). Поэтому слагающие равнодействующей и пары сил приложенных к магниту, должны равняться [см. (33.2) и (33.9)]:

где замкнутая поверхность интегрирования охватывает магнит и прилегает к его поверхности с ее внешней стороны. Другими словами, расположена целиком в неферромагнитной среде. Следовательно, компоненты тензора натяжений в (75.1) должны определяться формулами, справедливыми для неферромагнитной среды.

В § 84 будет доказано, что компоненты тензора натяжений магнитного поля в неферромагнитной среде равны

и аналогично для Заметим, что с точки зрения теории, исходящей из представления о существовании магнитных зарядов, формула (75.2) может быть непосредственно получена из соответствующей электростатической формулы (34.2) путем замены на на

Внеся (75 2) в (75.1), можно вычислить равнодействующую и результирующий момент сил, действующих на магнит в магнитном поле

2. Если, внеся (75.2) в (75 1), преобразовать входящие в (75.1) интегралы с помощью формул (33.3) и (33.7), то мы получим формулы:

где введено обозначение

причем предполагается, что компоненты тензора выражаются формулами (75 2), справедливыми для неферромагнитной среды. Определяемый при этом условии формулами (75.4) вектор может быть назван «эквивалентной плотностью» пондеромоторных сил в постоянном магните. Действительно, из изложенного следует, что мы получим правильное значение равнодействующей и результирующего момента сил, приложенных к магниту, если внесем выражения (75.4) в (75.3) и произведем интегрирование по всему объему магнита. Однако истинное распределение пондеромоторных сил по объему магнита может быть совершенно отлично от распределения «эквивалентных» сил, ибо тензор натяжений

выражается формулами (75.2) лишь вне магнита, внутри же магнита его компоненты нам неизвестны и могут совсем иначе зависеть от векторов Поэтому можно утверждать только, что если фактически приложенные к элементам объема магнита силы заменить силами то это не изменит ни равнодействующей, ни результирующего момента всех сил, приложенных к магниту.

Таким образом, эквивалентной плотностью сил можно пользоваться лишь в тех случаях, когда нас не интересует распределение пондеромоторных сил по объему магнита. Зато в этих случаях введение в рассмотрение эквивалентных сил весьма удобно потому, что, как мы сейчас покажем, может быть просто выражена через плотность постоянных магнитных зарядов и плотность токов проводимости в магните.

3. Внеся (75.2) в (75.4) и выполнив дифференцирование, получаем после надлежащей перегруппировки членов.

Так как

то сумма второго и третьего членов равна

Поэтому (75.5) является слагающей по оси х следующего векторного равенства

Воспользовавшись уравнением (73.7), которое применимо как в обычном, так и в новом варианте теории, получаем окончательное выражение для эквивалентной плотности пондеромоторных сил в постоянном магните:

Первый член справа выражает силу, действующую на постоянные магнитные заряды, и совпадает с формулой (73.16), которую мы, таким образом, доказали.

Второй член отличается от обычного выражения (65.1) силы, действующей на токи проводимости, только заменой вектора В вектором который отличается от В лишь в постоянных магнитах [см. уравнение (73.2)]. Наконец, последний член справа выражает силу, зависящую от неоднородности магнитной проницаемости магнита. Вплоть до указанной замены вектора В вектором совокупность двух последних членов в (75.6) совпадает с выражением (84.1) для пондеромоторных сил в неферромагнитных средах 1).

4. Формула (75.6) по своему виду соответствует представлению о существовании в постоянных магнитах магнитных зарядов. Можно, однако, получить и другое равносильное выражение для в котором постоянные магниты характеризуются распределением в них не магнитных зарядов, а постоянных молекулярных токов.

Вместо того чтобы соответствующим образом преобразовывать формулу (75.6), удобнее с этой целью вернуться к исходным формулам (75.2). Воспользовавшись тем, что на поверхности по которой производится интегрирование в и поэтому можно записать уравнения (75.2) в следующей форме:

Внеся эти выражения в (75.4) и выполнив дифференцирование, после надлежащей перегруппировки членов получим

Первый член справа равен нулю, так как Следующие два члена могут быть преобразованы с помощью формулы (74.9):

совершенно так же, как были преобразованы аналогичные члены в (75.5). В результате получаем следующее выражение для

Последний член этого выражения соответствует последнему члену прежней формулы (75.6) и совпадает с ним при Главный же первый член формулы (75.8) выражает тот факт, что пондеромоторное воздействие внешнего поля В на постоянные молекулярные токи такое же, как и на токи проводимости и что постоянные магниты вполне характеризуются распределением в них токов

В заключение сделаем два замечания. Выражения (75.6) и (75.8) для эквивалентной плотности пондеромоторных сил внешнего поля в постоянных магнитах равносильны друг другу в том смысле, что, как явствует из вывода этих выражений, оба они после подстановки в (75.3) приводят к одинаковому значению равнодействующей и результирующего момента сил, испытываемых магнитом в магнитном поле. Однако эти выражения (75.6) и (75.8) отнюдь не равны друг другу, т. е. соответствуют различным распределениям натяжений и объемных сил по объему магнита. Вовсе нельзя быть уверенным, что хотя бы одно из этих распределений соответствует действительности, ибо использованный нами метод позволяет определить лишь равнодействующую и результирующий момент приложенных к магниту сил; распределение же этих сил по объему магнита может быть получено только путем гораздо более углубленного анализа всей проблемы в целом.

В этом параграфе мы ограничились для краткости рассмотрением только объемных магнитных зарядов и объемных молекулярных токов Выражения для поверхностной плотности пондеромоторных сил, приложенных к поверхностным зарядам и токам и получатся, очевидно, из соответствующих членов формул (75.6) и (75.8) путем замены на

Учет сил, действующих на поверхности разрыва проницаемости также не представляет затруднений.

6. Нам остается доказать сделанное в конпе § 74 утверждение, что силы, действующие на источник магнитного поля (магнит) во внешнем

магнитном поле заданной индукции могут быть определены, если известно «собственное» поле возбуждаемое этим источником (магнитом), и что при изменениях проницаемости внешней среды, окружающей магнит, эти силы изменяются так же, как собственное поле магнита.

Ввиду сделанного в § 73 допущения о линейности уравнений магнитного поля результирующее поле во внешней среде равно

Согласно (75.1) действующие на магнит силы определяются тензором натяжения в окружающей неферромагнитной среде. Согласно (75.2) компоненты этого тензора квадратичны относительно так что, например,

Натяжение — определяет силы, которые испытывало бы вещество магнита при отсутствии в нем постоянного намагничения, возбуждающего поле Силы эти определяются по формулам, выведенным для неферромагнитных тел, и нас сейчас не интересуют. Натяжения выражают действие различных элементов постоянного магнита друг на друга и ничего не прибавляют к равнодействующей и моменту этих сил. Таким образом, силы, действующие на магнит во внешнем поле, определяются натяжением типа

чем и доказывается приведенное утверждение.

Нами не было в предыдущем учтено то обстоятельство, что изменение проницаемости внешней среды при неизменной проницаемости магнита неизбежно связано с изменением индукции внешнего поля вблизи магнита. Однако нетрудно показать, что если внешняя среда однородна и если внешнее поле тоже однородно вдали от магнита, то это обстоятельство не нарушает правильности доказанного утверждения.