ГЛАВА VII. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В НЕПОДВИЖНОЙ СРЕДЕ И ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

§ 91. Система максвелловых уравнений макроскопического электромагнитного поля

1. В предшествующих главах изложение носило индуктивный характер: мы шаг за шагом обобщали эмпирически найденные закономерности и формулировали их в виде отдельных законов. Теперь же задача нахождения основных законов электромагнитного поля (по крайней мере в том смысле, как эти законы понимаются в классической теории макроскопического поля) может считаться разрешенной, и полученные результаты могут быть сведены в полную систему уравнений электромагнитного поля. Если система этих уравнений верна и действительно является полной, то из нее должны однозначно вытекать все свойства поля — как уже изученные, так и не изученные нами.

Таким образом, система основных уравнений представляет собой, в сущности, математическую формулировку основных постулатов или «аксиом» классической электродинамики, играющих в ней ту же роль, какую в классической механике играют аксиомы Ньютона. Дальнейшая задача теории заключается в раскрытии содержания этих уравнений, в применении их к отдельным вопросам и в сравнении вытекающих из них следствий с данными опыта.

В настоящей главе мы ограничимся установлением системы основных уравнений макроскопического электромагнитного поля при следующих упрощающих допущениях: 1) все находящиеся в поле материальные тела неподвижны; 2) в каждой точке поля значения величин характеризующих свойства среды, остаются постоянными, т. е. не меняются со временем, не зависят от напряженности поля и считаются величинами заданными; 3) постоянные магниты и ферромагнетики в поле отсутствуют. Лишь в § 108 мы рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к теории ферромагнетиков.

Заметим, что второе ограничение обозначает, в частности, что мы либо пренебрегаем зависимостью от температуры,

либо ограничиваемся рассмотрением изотермических процессов. Мы будем считать в дальнейшем не зависящими от температуры, что позволит нам пренебречь также выделением и поглощением тепла при поляризации и намагничении среды. Вместе с тем в этом приближении устраняется различие между свободной и «внутренней» энергией электромагнитного поля (§ 31 и 82). Как уже отмечалось, эффекты, связанные с выделением тепла в диэлектриках и магнетиках, в большинстве случаев играют совершенно второстепенную роль, так что их действительно можно не учитывать.

2. Система дифференциальных уравнений классической электродинамики, к изложению которой мы переходим, носит название уравнений Максвелла. Максвелл впервые сформулировал эти уравнения в шестидесятых годах прошлого столетия (в частности, он впервые ввел понятие тока смещения) и раскрыл их физический смысл. Впрочем, окончательная общепринятая ныне формулировка уравнений электродинамики принадлежит Герцу.

К основным уравнениям Максвелла принадлежит, прежде всего, уравнение (88.5), определяющее зависимость вихря магнитного поля от плотности токов проводимости и токов смещения:

и уравнение (85.3), выражающее закон индукции электрического поля при изменении поля магнитного:

Из этих уравнений вытекают при некоторых добавочных предположениях два других уравнения, обыкновенно причисляемых к основным уравнениям поля. Так, в § 85 уже было показано, что из уравнения (II) следует независимость дивергенции вектора В от времени [уравнение (85.4)]. В остальном же вид функции при решении системы уравнений (I) и (II) остается неопределенным, так что функция эта играет роль начальных условий интегрирования. Полагая, что эта функция равна нулю во всех точках пространства, получим третье основное уравнение Максвелла

совпадающее с уравнением (62.8).

Образовав дивергенцию от обеих частей уравнения (I) и приняв во внимание равенство нулю дивергенции вихря [уравнение (42)], получим (изменив порядок дифференцирования по пространственным координатам и по времени)

Если обозначить через

то предшествующее уравнение примет вид

что совпадает по форме с уравнением непрерывности (87.1), выражающим собой закон сохранения количества электричества. Таким образом, определяемую уравнением (IV) величину можно толковать как плотность электрических зарядов.

В фарадей-максвелловой теории величина действительно носила характер вспомогательного обозначения, а понятие заряда — характер вспомогательного термина, ибо, с точки зрения фарадей-максвелловой концепции поля, электрические заряды представляют собой не особого рода субстанцию, а лишь «узлы» силовых линий поля, характеризующих деформацию упругого эфира, так что термин «электрический заряд» представляет собой лишь условное название истоков вектора т. е. тех участков поля, в которых Рассмотрение этой вспомогательной величины оправдывается тем, что величина заряда, находящегося внутри проведенной в непроводящей среде замкнутой поверхности, не изменяется во времени, т. е. является первым интегралом уравнений поля.

К основным максвелловым уравнениям необходимо причислить также и соотношения, связывающие между собой значения основных векторов электромагнитного поля:

Характеризующие свойства среды величины и А считаются при этом заданными функциями точки, от времени не зависящими, сторонние же электродвижущие силы считаются заданными функциями точки и времени. Существование этих сил сказывается непосредственно лишь на плотности тока проводимости, а косвенно также и на распределении электрических зарядов. В частности, для установления электростатического равновесия необходимо, чтобы в каждой точке проводников Естр уравновешивалось напряженностью электростатического поля зарядов [см. уравнение (38.9)].

Заметим, что некоторые авторы принимают не только но и пропорциональным не а Естр, т. е. вместо (V) полагают ). Вопрос о правильности того или иного предположения может быть разрешен в каждом отдельном случае путем выяснения физической природы сторонних электродвижущих сил. В некоторых случаях несомненно, от Естр не зависит (например, в растворах электролитов не зависит от сторонних электродвижущих сил осмотического происхождения, см.

Theorie d. Elektr. Ill Aufl. 1907. В. I. S. 257). Впрочем, практическое значение вопроса о зависимости или независимости вектора от Естр весьма невелико.

3. Система уравнений электромагнитного поля приобретет определенное физическое содержание лишь в том случае, если будет точно указано, в каких явлениях, доступных наблюдению и изучению на опыте, и каким именно образом проявляется существование электромагнитного поля, ибо человек лишен способности непосредственно воспринимать это поле (за исключением особых случаев, например поля световой волны). Мы можем узнать о том, что по данному проводнику протекает электрический ток лишь по тепловым (нагревание проводника), механическим (отклонение стрелки гальванометра) и тому подобным действиям этого тока; мы можем узнать, что данное тело заряжено лишь потому, что оно притягивает бузиновый шарик или порождает искру при приближении его к другому телу и т. п. Другими словами, мы можем заключить о существовании электромагнитного поля лишь по наблюдаемому нами при известных условиях возникновению или исчезновению доступных нашему восприятию форм энергии (например тепловой или механической). Руководствуясь принципом сохранения энергии, мы заключаем, что это возникновение или исчезновение известных нам форм энергии должно происходить за счет преобразования некоторой иной формы энергии, которую мы называем энергией электромагнитного поля

Таким образом, лишь в том случае, если мы постулируем определенную зависимость этой энергии от напряженности поля — в теории Максвелла полагается равным [ср. уравнение (30.4) и (81.3)]

— лишь в этом случае совокупность уравнений и (но не каждое из них порознь) станет доступной проверке на опыте, т. е. приобретает определенный физический смысл. Ибо уравнения определяют изменения электромагнитного поля во времени, а уравнение позволяет определить те преобразования энергии, в которых эти изменения поля проявляются (см., например, § 92).

4. Обратимся теперь к вопросу о поверхностях разрыва сплошности векторов электромагнитного поля. В основе теории поля лежит допущение, что вне поверхности раздела различных сред и вне поверхностных электрических зарядов все электромагнитные векторы, а также и постоянные среды и А всюду конечны, непрерывны и обладают производными. Однако, например, поверхности раздела различных сред должны, вообще говоря,

являться поверхностями разрыва электромагнитных векторов, ибо векторы эти связаны между собой соотношениями в которые входят величины скачкообразно меняющиеся на поверхностях раздела. Чтобы система уравнений поля была полной чтобы она давала возможность однозначно определить напряженность поля по начальным условиям, заданным для момента необходимо дополнить эту систему пограничными условиями, которым должны удовлетворять слагающие электромагнитных векторов на поверхностях разрыва.

Для установления этих условий предположим сначала, что смежные среды с различными значениями величин и А разделяются переходным слоем конечной толщины, в котором значения этих величин изменяются непрерывно, и что объемная плотность электричества и объемная плотность токов всюду остаются конечными. Будем затем стремить к нулю толщину этих переходных слоев, а также и слоев, заряженных и обтекаемых токами, и потребуем, как это мы уже неоднократно делали в предыдущем, чтобы уравнения поля оставались справедливыми в этих слоях и в предельном случае при Этим требованием искомые пограничные условия определяются однозначно.

Действительно, на основании этого требования из уравнений (III) и (IV) получим, согласно уравнению (6.8), два граничных условия:

совпадающих с уравнениями (62.12) и (22.7). Из уравнения непрерывности являющегося следствием уравнений (I) и получим аналогичным путем:

что совпадает с уравнением (87.2).

Далее, из уравнений (I) и (II) на основании уравнений (49.6) и (49.7) получим еще два граничных условия:

совпадающих с уравнениями (49.8) и (49.9). Последнее

уравнение эквивалентно уравнению

где под можно понимать любое направление, касательное к поверхности разрыва [ср. уравнения (49.4) и (49.5)] Уравнение же (I) может быть записано аналогичным образом лишь при отсутствии поверхностных электрических токов:

5. Помимо приведенных условий на поверхностях разрыва, необходимо также принять во внимание граничные условия в собственном смысле этого слова, ибо решение дифференциальных уравнений типа (I) и (II) однозначно определяется по начальным условиям для лишь при условии задания (в функции от времени) значений некоторых из искомых функций точки (в нашем случае некоторых слагающих векторов поля) на границах рассматриваемой области пространства (§ 93) В каждом отдельном случае форма этих граничных условий всецело зависит от конкретных условий задачи. В частности, если в область рассмотрения включается все бесконечное пространство, то граничные условия приобретают характер условий в бесконечности.

В § 93 мы убедимся, что система максвелловых уравнений совместно с перечисленными условиями на поверхностях разрыва и с надлежащими условиями в бесконечности есть система полная, т. е. что она позволяет однозначно определить электромагнитное поле в любой точке пространства и в любой момент времени по заданным для момента начальным значениям

6 Покажем в заключение, на основании каких наиболее общих допущений уравнения Максвелла могут быть получены из микроскопических уравнений электромагнитного поля

где индекс означает микроскопическое значение соответствующей величины

Усредняя (91 1) по физически бесконечно малым объемам, как мы это делали, например, в § 26 и 62, используя соотношения типа (25 2) и вводя обозначения уравнение (62 6)]

получаем

Третье из этих уравнений совпадает с (II) Чтобы получить второе из двух основных уравнений Максвелла — уравнение необходимо допустить,

что в однородной и изотропной среде средняя плотность микроскопических токов является линейной функцией векторов поля и их первых пространственных и временных производных Самое общее выражение для совместимое с этим допущением, может быть записано в виде

где суть произвольные скаляры Действительно, в выражение для не могут входить ибо эти величины являются аксиальными векторами, тогда как (также, как суть векторы полярные (см приложение «Векторный анализ», с 575, примечание) Перечисленными векторами исчерпываются все линейные вектор-функции векторов и их первых производных, свойства же однородной и изотропной среды могут характеризоваться только скалярами

Внеся (91 4) в первое из уравнений (91 3), приняв во внимание предполагаемую независимость характеристик среды от координат и времени и произведя перегруппировку членов, получаем

Вводя, наконец, соответственно (V) обозначения

получаем уравнение Максвелла (I)

Что же касается уравнения то, как указывалось, его можно считать определением величины

Таким образом, указанные допущения действительно достаточны (и необходимы) для получения из микроскопических уравнений (91 1) системы дифференциальных уравнений Максвелла и соотношений (V) Если же отказаться от линейных соотношений (V) между то дифференциальные уравнения Максвелла могут быть получены из гораздо более общих допущений § 110)