§ 81. Энергия магнитного поля. Энергетическое значение коэффициентов индукции

1. Полученное нами выражение энергии магнитного взаимодействия токов в отсутствие ферромагнетиков

по своей форме соответствует представлению о магнитном взаимодействии токов на расстоянии. В этом отношении оно вполне аналогично выражению энергии покоящихся электрических зарядов (15.5):

Действительно, входящий в уравнение (79.6) член

может быть истолкован как энергия магнитного взаимодействия токов и а член

как «собственная» энергия тока т. е. как энергия взаимодействия бесконечно тонких нитей тока, на которые может быть

разложен этот ток. Далее, коэффициент взаимной индукции в формуле (79.6) аналогичен коэффициенту в формуле (15.5), ибо, согласно формуле (51.3),

так что представляет собой некое среднее расстояние между контурами токов и

2 Нетрудно, однако, выразить магнитную энергию токов в форме интеграла по всему объему поля этих токов и тем самым, как и в случае электрического поля (§ 16), получить возможность интерпретировать энергию в духе теории близкодействия как энергию поля, а не как энергию взаимодействия токов.

С этой целью мы воспользуемся формулами (79.7) и (65.9):

Выражая согласно уравнению (62.7), через получим

Но, согласно общей формуле векторного анализа (44,

причем, согласно уравнению (62.10), rot А можно заменить через В:

Внося это выражение под знак интеграла и применив теорему Гаусса [уравнение (17], получим

Если мы распространим интегрирование на весь объем полного поля токов, то интеграл по пограничной поверхности этого поля обратится в нуль, и выражение для примет вид

При этом под полным магнитным полем токов в соответствии с определением полного поля электрических зарядов (см § 16) понимается область пространства V, охватывающая все взаимодействующие токи и все поле этих токов. Если, как это обычно

бывает, поле токов простирается в бесконечность, то под полным полем можно и нужно понимать все бесконечное пространство при непременном условии (см. § 16), что подынтегральные выражения в интересующих нас интегралах по пограничной поверхности поля (в данном случае убывают при удалении этой поверхности в бесконечность быстрее, чем

Если все токи расположены в конечной области пространства, то это условие выполнено, ибо при удалении в бесконечность произведение убывает не медленнее, чем (см. § 46, с. 217).

3. С точки зрения теории поля, формула (81.3) может быть истолкована следующим образом: магнитная энергия локализована в поле и распределена по его объему со вполне определенной плотностью , равной

В квазистационарных магнитных полях оба приведенных понимания магнитной энергии (как энергии взаимодействия токов и как энергии поля), разумеется, совершенно равноправны, ибо вытекают они из математически эквивалентных друг другу выражений (79.6) и (81.3) (ср. § 16). Однако при переходе к быстропеременным электромагнитным полям эквивалентность этих выражений нарушается, и мы убедимся в следующей главе, что лишь представление о локализации магнитной энергии в поле может быть согласовано с данными опыта.

4. Заметим, что наша исходная формула (79.7), как неоднократно упоминалось, справедлива лишь при условии отсутствия в поле ферромагнетиков. Этим ограничивается, таким образом, и область приложимости всех формул этого параграфа.

Так как в отсутствие ферромагнетиков

то формулы (81.3) и (81.4) могут быть записаны также следующим образом:

Таким образом, при заданной напряженности поля энергия единицы его объема пропорциональна магнитной проницаемости среды. В случае поля в вакууме

5. Рассмотрим энергию магнитного поля двух токов находящихся в произвольной диа- и парамагнитной среде.

Если суть напряженности поля, создаваемого каждым из этих токов в отдельности, то

и общая энергия поля токов будет равна

Очевидно, что первый и последний члены правой части этого равенства (обозначим их через могут быть названы собственной энергией каждого из токов а второй член — взаимной энергией этих токов

Данные в § 65 выражения коэффициентов взаимной индукции и самоиндукции (65.7), как указывалось, применимы лишь в однородной магнитной среде Сравнивая же выражение (81.7) с выражением энергии (79.5):

получаем для более общего случая произвольной (но не ферромагнитной) среды:

Так как при заданной конфигурации проводников пропорциональны соответственно то определяемые формулой (81.8) значения индукционных коэффициентов зависят лишь от геометрической конфигурации проводников и от магнитной проницаемости среды, но не от силы токов в проводниках. При значения эти должны совпадать со значениями коэффициентов индукции, определяемых формулой (65.7).

Уравнения (81.8) представляют собой наиболее общее, годное при определение коэффициентов индукции. Из этого определения явствует, что коэффициенты индукции являются, в сущности, мерой энергии магнитного поля токов (при заданной силе этих токов). С этим наиболее существенным значением коэффициентов индукции, как легко убедиться, неразрывно связана как роль этих коэффициентов в определении пондеромоторных сил, испытываемых токами в магнитном поле (§ 51 и 65), так и роль их в определении электродвижущих сил индукции (§ 78).

Приведем теперь два примера вычисления коэффициента самоиндукции, при решении которых удобнее всего исходить непосредственно из энергетического определения (81.8) этого коэффициента.

Пример 1. Самоиндукция кругового тока. Цилиндрический провод радиуса согнут так, что он образует окружность радиуса По нему протекает ток Объем проводника обозначим через объем окружающего его пространства через V, а энергию поля тока в V и в соответственно через :

Рис. 71

Если провести опирающуюся на контур провода условную перегородку (рис. 71, на котором изображено сечение провода меридиональной плоскостью), то поле тока вне проводника можно будет считать обладающим потенциалом причем потенциал этот будет испытывать на перегородке скачок [см. уравнение (54.4), остающееся, очевидно, справедливым и в произвольной магнитной среде]. Энергия внешнего поля тока выразится при этом формулой

Ввиду того, что получаем на основании уравнения (43):

следовательно, на основании теоремы Гаусса получаем

причем поверхностный интеграл должен быть распространен, во-первых, по границе объема V, образуемой поверхностью проводника (интеграл по внешней поверхности полного поля равен нулю), и, во-вторых, по обеим сторонам поверхности разрыва потенциала. Последний из этих поверхностных интегралов, очевидно, равен

где есть слагающая В по направлению положительной нормали к (см. рис. 71).

Таким образом,

Предположим теперь для определенности, что пространство вне провода заполнено однородным магнетиком проницаемости тогда как проницаемость проводника равна Предположим, далее, что радиус провода о

весьма мал по сравнению с радиусом образуемой им окружности и рассмотрим участок провода длины I, удовлетворяющий условию Ввиду того, что участок этот можно считать прямолинейным. Так как, кроме того, , то поле внутри провода и в непосредственной близости от его поверхности будет лишь весьма незначительно отличаться от поля бесконечно длинного прямолинейного тока и с достаточной точностью будет определяться формулами,

где есть расстояние рассматриваемой точки поля от оси провода. Таким образом, вне провода на достаточно близком расстоянии от его поверхности поле рассматриваемого нами тока совпадает с полем линейного тока той же силы, сосредоточенного на оси провода. С другой стороны, поле тока должно совпадать с полем линейного тока и на больших расстояниях от поверхности провода на которых распределение тока по сечению провода сказываться не может. Так как любая точка внешнего пространства V удовлетворяет хотя бы одному из этих условий (ввиду того, что либо либо то при определении поля во всем пространстве V мы можем считать ток сосредоточенным на оси провода. Стало быть, входящий в выражение для интеграл должен равняться потоку индукции посылаемому этим линейным круговым током радиуса через концентрическую окружность радиуса образованную пересечением внутренней стороны поверхности провода с плоскостью Следовательно, если обозначить через коэффициент взаимной индукции двух концентрических окружностей радиусов то, согласно уравнению (65.6),

Так как при указанных условиях индукция (и напряженность) магнитного поля у поверхности провода касательна к этой поверхности, то первый член в выражении для равен нулю и, стало быть,

Обращаясь к выражению для и внося в него приведенное выше значение напряженности получим

Итак, общая энергия поля тока равна

откуда на основании (81.8) следует:

Величина является мерой энергии запасенной внутри провода, и может быть названа его «внутренней» самоиндукцией, а величина являющаяся мерой энергии может быть названа «внешней» самоиндукцией провода Обозначая внешнюю и внутреннюю самоиндукции через можем написать

Таким образом, при упомянутых выше условиях внутренняя самоиндукция провода радиуса образующего окружность радиуса пропорциональна его длине а его внешняя самоиндукция равна коэффициенту взаимной индукции двух концентрических окружностей радиусов Этот коэффициент может быть вычислен с помощью общей формулы (65.7) (см. пример определения коэффициента для двух квадратов § 51). Чтобы не загромождать изложения чисто математическими выкладками, приведем здесь лишь окончательные результаты (для случая

Пример 2. Самоиндукция единицы длины кабеля. Рассмотрим проводник, состоящий из двух концентрических полых цилиндров, длина которых весьма велика по сравнению с их радиусами На обоих концах проводника внутренний и внешний его цилиндры соединены между собой, так что совокупность обоих цилиндров составляет замкнутую проводящую цепь, по которой циркулирует ток При этом направление тока во внешнем цилиндре, разумеется, обратно направлению его во внутреннем цилиндре. Подобную цепь тока мы будем условно называть здесь и в § 106 и 107 кабелем, хотя термин этот имеет, конечно, более широкое значение.

Если длина кабеля достаточно велика по сравнению с его радиусом, то вблизи средней его части поле протекающего по кабелю тока будет такое же, как и в случае кабеля бесконечной длины. Понятие самоиндукции бесконечного кабеля, разумеется, смысла не имеет, ибо при увеличении длины кабеля общая энергия его поля, а стало быть, и самоиндукция кабеля растут до бесконечности. Целесообразно, однако, ввести в рассмотрение самоиндукцию единицы длины бесконечного кабеля, понимая под этим меру той доли энергии его поля, которая заключается между двумя перпендикулярными кабелю плоскостями, находящимися на единичном расстоянии друг от друга. Если мы условимся отмечать звездочкой все величины, относящиеся к единице длины кабеля, то по аналогии с уравнением (81.8) можно написать

Физический смысл величины сводится, очевидно, к тому, что при увеличении длины достаточно длинного кабеля на единицу самоиндукция его увеличивается на единиц.

Предположим для простоты, что обкладки кабеля (т. е. образующие кабель цилиндрические проводники) обладают столь малой толщиной (по сравнению с что в первом приближении их можно считать бесконечно тонкими поверхностями.

Поле тока, равномерно распределенного по поверхности цилиндра, равно нулю внутри этого цилиндра; во внешнем пространстве оно таково, как если бы ток был сосредоточен на оси цилиндра (задачи 29 и 30). Стало быть, поле кабеля внутри цилиндра равно нулю, между цилиндрами совпадает с полем линейного тока силы наконец, вне цилиндра также равно нулю (ибо по внутренней и по внешней обкладкам кабеля протекают токи равной величины и противоположного направления). Следовательно, энергия приходящаяся на единицу длины кабеля, сосредоточена в пространстве между его обкладками, т. е. в полом цилиндре длины 1, внутренний и внешний радиусы которого равны Итак,

где означает проницаемость среды, заключенной между обкладками кабеля. Сравнивая это с предыдущим уравнением, получим окончательно: