§ 73. Уравнения поля в идеализированных ферромагнетиках (обычный вариант). Постоянные магниты

1. Результаты § 60-62 носят совершенно общий характер и применимы к любым магнетикам. Однако в § 63 мы сделали допущение, что намагничение среды I пропорционально напряженности магнитного поля и тем самым исключили из своего рассмотрения ферромагнетики. Теперь нам предстоит восполнить этот пробел.

Явления гистерезиса в ферромагнетиках означают, что между нет однозначного соотношения. Но даже в таких ферромагнетиках, в которых гистерезисом, ввиду его незначительности, можно пренебречь, нелинейный характер зависимости I от чрезвычайно усложняет теорию. Чтобы избежать этих

усложнений, мы ограничимся рассмотрением так называемых «идеализированных ферромагнетиков», или «постоянных магнитов», предположив, что намагничение I этих магнетиков складывается из суммы индуцированного намагничения, являющегося линейной функцией напряженности поля, и постоянного намагничения от напряженности поля вовсе не зависящего. В этом параграфе мы будем исходить из общепринятого допущения, что индуцированное намагничение пропорционально напряженности магнитного поля, т. е. положим

где — заданная функция точки, а х от не зависит. (Несколько иной вариант теории постоянных магнитов будет рассмотрен в следующем параграфе.) Очевидно, что уравнение (73.1) включает в себя в качестве частного случая формулу (63.1), справедливую для пара- и диамагнетиков. Те ферромагнитные тела, в которых отлично от нуля, мы будем называть постоянными магнитами.

Таким образом, зависимость I от в идеализированных ферромагнетиках остается линейной, и мы получаем возможность пользоваться принципом суперпозиции полей.

Несмотря на то, что свойства реальных ферромагнетиков весьма существенно отличаются от свойств наших идеализированных ферромагнетиков (как показывает уже самая возможность изготовления постоянных магнитов из немагнитной стали, размагничения магнитов и т. д.), однако в некоторых случаях формула (73.1) все же является известным приближением к действительности. Так, например, она применима к намагниченной почти до насыщения твердой стали при условии, что изменения внешнего поля достаточно малы. Вместе с тем рассмотрение идеализированных ферромагнетиков позволит нам понять старые теории магнетизма, оперировавшие представлениями о магнитных зарядах или полюсах.

Введенное нами представление об идеализированных ферромагнетиках сводится, согласно (73.1), в сущности к замене ферромагнетика совокупностью постоянного магнита (в строгом смысле этого слова) и парамагнетика.

2. На основании (62.9), (73.1) и (63.2)

Так как ранее выведенные дифференциальные уравнения поля (62.7) и (62.8) остаются справедливыми в произвольной среде, то полная система уравнений поля при наличии постоянных магнитов приобретает вид

(пограничных условий, однозначно вытекающих из дифференциальных уравнений, для краткости не выписываем). Она отличается от системы уравнений (§ 64, с. 293) только членом в последнем уравнении и позволяет однозначно определить магнитное поле, если известно распределение электрических токов в проводниках, распределение постоянного намагничения 10 в ферромагнетиках и, наконец, значение магнитной проницаемости в каждой точке среды.

В этой однозначности проще всего убедиться, разбив напряженность поля на сумму напряженностей вихревого и безвихревого полей:

и положив

и

Уравнения (73.5) для поля токов полностью совпадают с системой в § 64 и, по доказанному, в том же § 64 однозначно определяют если известны значения в каждой точке пространства. Уравнения же (73.6) для поля постоянных магнитов могут быть записаны следующим образом:

где нами введено обозначение

Величину принято называть плотностью постоянных магнитных зарядов. Этот исторически сложившийся термин весьма удобен, хотя, конечно, и является, с современной точки зрения, совершенно условным.

При такой записи уравнений поля выявляется полная аналогия между магнитным полем постоянных магнитов и электрическим полем электрических зарядов: поле будучи безвихревым, обладает, подобно однозначным скалярным потенциалом

далее, истоками вектора (отличающегося от магнитной индукции В на являются постоянные магнитные заряды подобно тому как свободные электрические заряды являются истоками вектора (равного электрической индукции Таким образом, существует полное соответствие между и между и наконец, между

следовательно, к полю постоянных магнитов применимы все результаты, полученные при изучении диэлектриков (с заменой электрических величин на соответствующие магнитные).

В частности, из результатов § 22 следует, что поле однозначно определяется заданием как функции точки и заданием плотности постоянных магнитных зарядов, которая в свою очередь определяется заданием как функции точки.

Таким образом, магнитное поле может быть однозначно представлено как наложение двух независимых полей — поля токов и поля магнитов Поле токов уже было рассмотрено нами ранее, так что мы теперь можем ограничиться рассмотрением поля постоянных магнитов

3. Воспользовавшись соотношением можно представить второе из уравнений (73.7) следующим образом:

Таким образом, соответствует плотности свободных электрических зарядов (заданием определяется поле тогда

соответствует плотности связанных электрических зарядов можно назвать плотностью связанных магнитных зарядов, индуцированных в магнетике полем

Однако в некотором ином отношении соответствует плотности не свободных, а связанных электрических зарядов: в противоположность свободным электрическим зарядам постоянные магнитные заряды не могут быть отделены друг от друга. Действительно, рассмотрим произвольное тело, окруженное со всех сторон неферромагнитной средой. Проведем в этой среде какую-либо замкнутую поверхность охватывающую это тело и отграничивающую объем Проинтегрировав уравнение (73.8) по этому объему V и воспользовавшись теоремой Гаусса (17, получим

ибо на поверхности т. е. в неферромагнитной среде, постоянное намагничение тождественно равно нулю. Таким образом, полный «магнитный заряд» любого постоянного магнита всегда равен нулю.

При наличии в поле поверхностей разрыва векторов и и магнитной проницаемости предшествующие уравнения

должны быть дополнены однозначно вытекающими из них пограничными условиями (ср. § 6 и 49):

где означают поверхностную плотность постоянных и индуцированных магнитных зарядов; уравнение же (73.11) должно быть дополнено интегралом по поверхностям разрыва вектора 10, лежащего внутри объема V, т. е. суммой поверхностных магнитных зарядов находящихся в этом объеме:

Предположим, что постоянный магнит равномерно намагничен по всему своему объему Тогда все постоянные магнитные заряды будут сосредоточены на поверхности магнита Если, в частности, магнит имеет форму прямого цилиндра и если намагничение параллельно оси цилиндра, то все постоянные магнитные заряды будут распределены по основаниям цилиндра с поверхностной плотностью

(ибо на боковой поверхности цилиндра а вне магнита Таким образом, такой магнит сечения можно рассматривать как совокупность двух равных по величине магнитных зарядов:

противоположного знака, распределенных по основаниям магнита (так называемые полюсы магнита)] поле такого магнита можно рассматривать как наложение полей, возбуждаемых каждым из его полюсов в отдельности. Именно поэтому теории XVIII-XIX вв. оперировали понятием магнитных зарядов или полюсов.

Если, однако, разрезать магнит пополам, то каждая поверхность разреза приобретает характер поверхности разрыва вектора 10, т. е. на ней «появляется» поверхностный магнитный заряд той же плотности так что сумма зарядов каждого отдельного куска оказывается равной нулю.

4. Из установленного выше соответствия между магнитным полем постоянных магнитов и электрическим полем свободных электрических зарядов вытекает, что в однородном магнетике скалярный потенциал для магнитов равен [ср. (23.2)]:

а напряженность магнитного поля равна

Таким образом, напряженность поля постоянных магнитов в однородной среде обратно пропорциональна проницаемости среды. В отличие от этого, как мы убедились в § 64, напряженность магнитного поля токов в однородной среде от проницаемости среды вовсе не зависит. Причину этого отличия поля магнитов от поля токов мы выясним в следующем параграфе.

5. В теории постоянных магнитов общепринято исходить из допущения, что плотность пондеромоторных сил, действующих на постоянные магнитные заряды, по аналогии с электростатикой выражается формулой

Справедливость этой формулы будет доказана нами в § 75. Пока же заметим, что из полной аналогии формул (73.15) и (73.16) с соответствующими формулами электростатики следует, что сила взаимодействия точечных (постоянных) магнитных зарядов в однородной среде определяется законом Кулона

при этом, конечно, под «точечным» магнитным зарядом или полюсом нужно, очевидно, понимать заряд достаточно малого объема постоянного магнита:

Именно этот закон Кулона (73.17) и играл роль основного постулата в теориях магнетизма XVIII-XIX вв.

Согласно (73.16) пондеромоторные силы, испытываемые магнитными зарядами в магнитном поле, определяются напряженностью этого поля, тогда как силы, испытываемые электрическими токами, согласно (65.1), определяются магнитной индукцией В.

Вместе с тем, как только что отмечалось, напряженность поля магнитов в однородной среде обратно пропорциональна проницаемости этой среды тогда как напряженность поля токов в однородной среде от не зависит. Сопоставляя эти результаты, мы приходим к следующим выводам: в однородной магнитной среде пондеромоторные силы взаимодействия постоянных магнитов обратно пропорциональны силы взаимодействия между током и постоянным магнитом от не

зависят и, наконец, как уже отмечалось в § 65, силы взаимодействия токов прямо пропорциональны

Причину этого различия между токами и постоянными магнитами мы выясним в следующем параграфе.

6 Уравнения магнитного поля были получены нами в начале главы из представления, что свойства магнетиков обусловливаются наличием в них молекулярных токов. Не изменяя этих уравнений и лишь введя формально понятие плотности магнитных зарядов, определяемое уравнением (73.8), мы показали, что теория постоянных магнитов может быть представлена в форме, соответствующей представлению о существовании реальных магнитных зарядов в молекулах магнетиков.

Хотя никаких магнитных зарядов в действительности не существует, все же в ряде случаев удобно пользоваться этой формой теории, позволяющей непосредственно использовать в теории магнетизма результаты теории диэлектриков.

Вместе с тем доказанная далеко идущая эквивалентность теории молекулярных токов и теории магнитных зарядов делает понятным успех, которым пользовались теории магнетизма XVIII-XIX вв., оперировавшие понятием магнитных зарядов или полюсов. Действительно, благодаря рассмотренной в эквивалентности элементарных токов и магнитных диполей все макроскопические уравнения поля в любых магнетиках, а не только в постоянных магнитах, могут быть формально интерпретированы как с точки зрения современной электронной теории, так и на основе представлений о существовании в молекулах магнетиков магнитных зарядов. Если, однако, выйти за рамки макроскопической теории, рассматривающей проницаемость как заданную характеристику магнетика, и поставить вопросы о механизме намагничивания, о зависимости значения от других характеристик тела и т. д., то сразу же выясняется, что старые теории магнетизма не только не совместимы с современными сведениями о строении атомов, но что даже в области макроскопических явлений они совершенно бессильны, например, объяснить диамагнетизм или гиромагнитные явления (см. § 71).