§ 54. Топология вихревого (магнитного) поля. Условные перегородки

1. Чтобы разобраться в геометрических, или, вернее, топологических, свойствах магнитного поля, рассмотрим сначала тот случай, когда в поле имеется лишь один замкнутый проводник, обтекаемый током Вихрь магнитного поля отличен от нуля лишь внутри обтекаемого током проводника. Поэтому пространство, занятое током, можно назвать вихревым пространством или ввиду замкнутости тока вихревым кольцом.

С чисто топологической точки зрения, все замкнутые линии или контуры (как совпадающие с магнитными силовыми линиями, так и не совпадающие с ними), если только они расположены вне вихревого пространства, делятся на два класса в зависимости от того, не охватывают или охватывают они вихревое кольцо. Если мы мысленно выделим из поля вихревое пространство или условимся считать его непроницаемым, то контуры разных классов не могут быть приведены в совпадение друг с другом путем непрерывной деформации без нарушения их целости. Любые же

два контура, принадлежащие к одному и тому же классу, всегда могут быть путем непрерывной деформации приведены в совпадение.

Далее контуры первого класса путем непрерывной деформации могут быть стянуты к точке (т. е. бесконечно малой длине). Контуры же второго класса без пересечения вихревого пространства стянуты к точке быть не могут.

Рис. 56

Пространство, в котором существуют замкнутые линии или контуры, не могущие быть стянутыми к точке, называется пространством многосвязным. Число существенно различных классов контуров определяет порядок связности пространства. Так, например, пространство, оставшееся после выделения из него вихревого кольца, есть пространство двусвязное (два существенно различных класса контуров); если же из пространства выделить два кольца (два замкнутых тока), которые, в частности, могут соприкасаться между собой (рис. 56), то оставшееся пространство будет трехсвязным, ибо в нем существуют три класса контуров, не сводимых друг к другу на рис. 56; контур же типа может быть разложен на два контура типа

Рис. 57

Эти топологические свойства многосвязных пространств тесно связаны с физическими свойствами магнитного поля постоянных токов, ибо и с физической точки зрения контуры, проведенные в поле токов, тоже распадаются на классы в зависимости от значения циркуляции вектора по этим контурам. Так, например, в случае одного замкнутого тока циркуляция по контурам первого класса, могущим быть стянутыми к точке, равна нулю, циркуляция же по линиям второго класса, охватывающим ток, равна (знак зависит от выбора направления обхода контура); промежуточных же значений циркуляции нет. Точно так же в случае двух или нескольких токов легко убедиться, что подразделение линий на классы по физическому признаку (величина циркуляции) совпадает с подразделением их по признаку

топологическому. В частности, все силовые линии магнитного поля (как замкнутые, так и незамкнутые) должны охватывать ток, т. е. вихревое пространство.

2. Однако связь между топологическими и физическими свойствами поля не ограничивается указанными соотношениями и может быть прослежена гораздо дальше.

Известно, что всякое многосвязное пространство путем внесения в него надлежащих перегородок может быть сделано односвязным. Так, например, если затянуть отверстия вихревого кольца непроницаемой перегородкой, то проведение контура второго класса, охватывающего это кольцо, станет невозможным и пространство станет односвязным. Точно так же трехсвязное пространство (рис. 56) станет односвязным, если затянуть непроницаемыми перегородками отверстия каждого из расположенных в нем колец.

Заметим, что форма и положение этих перегородок остаются при этом в значительной мере произвольными; существенно лишь, чтобы контур каждой перегородки опирался на поверхность соответствующего вихревого кольца.

Рассмотрим теперь физические свойства магнитного поля, ставшего односвязным благодаря мысленному внесению в него такого рода условных перегородок. Ротор вектора во всех точках этого поля равен нулю (вихревое пространство по-прежнему считаем выделением из поля). Циркуляция вектора по любому возможному в нем (т. е. не пересекающему условную перегородку) контуру равна нулю. Стало быть (см. § 48), в этом односвязном поле можно однозначно определить скалярный потенциал магнитного поля, положив по аналогии с потенциалом поля электрического

При этом, согласно уравнению (47.1), для всех точек рассматриваемого пространства

так что магнитное поле, ставшее потенциальным благодаря выделению вихревого пространства и внесению условных перегородок, оказывается лишенным объемных истоков.

Ввиду непрерывности вектора потенциал и его пространственные производные будут также непрерывны во всем поле, за исключением точек, прилегающих к условным перегородкам. Действительно, рассмотрим две бесконечно близкие точки

разделенные условной перегородкой Разность потенциалов этих точек, согласно уравнению (54.1), будет равна

причем путь интегрирования не должен, конечно, пересекать перегородки. Так как точки бесконечно близки друг к другу, то путь лишь бесконечно мало отличается от замкнутой линии стало быть, согласно уравнению (47.5),

Рис. 58

Таким образом, условные перегородки являются поверхностями разрыва сплошности магнитного потенциала, испытывающего на них скачок Этот скачок будет положительным если циркуляция по контуру положительна, т. е., как явствует из рисунка, если бесконечно малый вектор образует с направлением тока правовинтовую систему.

3. При изучении потенциального электростатического поля мы познакомились с поверхностями разрыва потенциала в кулоновом поле электрических зарядов и убедились, что физически эти поверхности разрыва соответствуют двойным слоям зарядов. По аналогии с полем электростатическим можно и магнитное поле токов, ставшее потенциальным благодаря выделению из него вихревого пространства и внесению условных перегородок, рассматривать как поле двойных слоев фиктивных магнитных зарядов взаимодействующих по закону Кулона:

Здесь есть пондеромоторная сила взаимодействия магнитных зарядов шит, находящихся на расстоянии друг от друга, причем заряды одинакового знака отталкиваются, а противоположных знаков притягиваются, а к есть фактор пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения. Если мы приравняем этот фактор единице, положив

то тем самым мы введем абсолютную единицу количества магнетизма: единица магнетизма есть такое количество магнетизма, которое равное ей количество магнетизма, находящееся на

расстоянии 1 см, отталкивает с силой в одну дину. Далее, можно ввести в рассмотрение напряженность поля фиктивного магнитного заряда:

как силу, действующую на пробный положительный магнитный заряд, равный единице, и т. д., в полной аналогии с полем электростатическим

4. Однако существенное отличие поля фиктивных магнитных зарядов от электростатического заключается в том, что, согласно уравнению (54.3), поле это лишено объемных (а вместе с тем и точечных) источников и что все магнитные заряды располагаются двойными слоями на поверхностях разрыва магнитного потенциала совпадающих с введенными выше условными перегородками. Таким образом, магнитные заряды противоположных знаков оказываются неотделимыми друг от друга, и можно считать, что элементарные магнитные заряды попарно связаны в твердые магнитные диполи (элементарные магниты).