§ 93. Однозначность решений уравнений Максвелла

1. Установив в § 91 систему основных максвелловых уравнений, мы указали, что эта система полна, т. е. что электромагнитное поле в каждой точке пространства и в каждый момент времени однозначно определяется этой системой, если только для момента заданы начальные значения векторов во всех точках пространства. Впрочем, эта формулировка «теоремы однозначности» не вполне точна. Мы не можем определить напряженность поля во всем бесконечном пространстве, — нашему наблюдению доступна лишь ограниченная его часть. Поэтому теорема однозначности приобретает непосредственный физический смысл лишь в том случае, если мы ограничимся некоторым конечным участком пространства и дополним условия, определяющие решения максвелловых уравнений, определенными граничными условиями на границах этого участка.

2. Мы докажем сначала теорему однозначности в следующей формулировке: электромагнитное поле в любой момент времени в любой точке объема V, ограниченного произвольной замкнутой поверхностью однозначно определяется уравнениями Максвелла, если заданы начальные значения электромагнитных векторов во всем этом участке пространства для момента и если, кроме того, для одного из этих векторов (например известны граничные значения его тангенциальных слагающих на поверхности в течение всего промежутка времени от до

Предположим противное, т. е. предположим, что существуют две различные системы решений максвелловых уравнений удовлетворяющие одним и тем же начальным и граничным условиям. Ввиду линейности уравнений поля разность этих решений и также должна удовлетворять уравнениям Максвелла при следующих дополнительных условиях: а) ; б) в момент во всех точках объема при и имеют, по предположению, одинаковые заданные значения); в) в течение всего промежутка времени от до во всех точках поверхности тангенциальные слагающие вектора либо вектора равны нулю (по той же причине).

Применим к этому полю вытекающую из максвелловых уравнений теорему Пойнтинга [уравнение (92.6)], положив в ней, согласно сказанному, работу сторонних сил равной нулю. Входящий в уравнение (92.6) поверхностный интеграл будет равен нулю в течение всего промежутка времени от до ибо из условия следует, что на поверхности

стало быть, в любой момент этого промежутка

Так как подынтегральное выражение существенно положительно, то т. е. энергия поля может либо убывать, либо (при равном повсюду нулю) оставаться постоянной. Но при согласно условию энергия поля равнялась нулю; отрицательных же значений она принимать не может; стало быть, и в течение всего рассматриваемого промежутка энергия

должна оставаться равной нулю, что может иметь место лишь в том случае, если остаются равными нулю во всех точках объема А это значит, что две системы решений исходной задачи предполагавшиеся нами различными, по необходимости тождественны между собой. Таким образом, теорема однозначности доказана.

3. Легко убедиться, что при рассмотрении всего безграничного пространства задание значений векторов поля на

граничной поверхности может быть заменено наложением следующих условий в бесконечности:

Действительно, из условий (93.2) следует, что интеграл вектора Пойнтинга по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль. Это обстоятельство позволяет доказать, исходя из уравнения (92.6), применимость уравнения (93.1) ко всему бесконечному пространству. Из уравнения же (93.1), как мы видели, следует однозначность решений уравнения поля.

Условия (93.2) совпадают с прежними уравнениями (12.10) и (49.10); в случае постоянного поля они являются выражением того факта, что если все возбуждающие поле заряды и токи расположены в ограниченной области пространства V, то напряженность поля в бесконечности должна убывать не медленнее, чем обратно пропорционально квадрату расстояния от произвольно выбранной в V начальной точки отсчета.

Однако условия (93.2), которыми можно пользоваться в случае постоянного поля, неприменимы к полю переменному. Так, например, в § 99 мы убедимся, что поле излучения осциллятора убывает в бесконечности обратно пропорционально первой, а не второй степени расстояния В этом случае поток вектора Пойнтинга через бесконечно удаленную поверхность не исчезает, а равняется вполне определенной конечной величине.

Впрочем, при рассмотрении поля излучения часто можно ограничиться задачами следующего типа. Допустим, что вплоть до момента времени поле вне некоторой конечной области пространства равнялось нулю либо было стационарным и удовлетворяло условиям (93.2). Затем за промежуток времени от момента до момента происходили какие-либо пертурбации, перемещение тел, замыкания и размыкания цепей тока, включение переменных сторонних ЭДС Естр и т. п.; с момента же времени величины во всех точках поля вновь приобрели постоянные значения.

Как мы убедимся в § 97, возмущения электромагнитного поля распространяются со скоростью света с. Поэтому если все заряды и токи сосредоточены внутри сферы конечного радиуса то вне сферы радиуса поле сохранит невозмущенное значение вплоть до момента т. е. будет удовлетворять условиям (93.2). Таким образом, в этом случае на основании доказанного поле в любой момент времени однозначно определяется

заданием начальных значений векторов во всех точках пространства для момента времени удовлетворяющего неравенству конец § 96).