§ 57. Непосредственное определение поля элементарных токов и сил, ими испытываемых

1. В предыдущем параграфе мы определили поле элементарных токов и силы, испытываемые ими во внешнем поле, исходя из доказанной в § 55 эквивалентности замкнутых токов и магнитных листков.

Теперь же мы дадим непосредственный вывод этих выражений, не прибегая к представлению о фиктивных магнитных зарядах и характеризуя магнитное поле не скалярным потенциалом а векторным потенциалом А. Такой способ вывода, во-первых, более последователен, во-вторых, он позволит нам рассмотреть не линейные, как в § 56, а объемные токи, замена которых магнитными листками если и не невозможна, то все же была бы чрезвычайно громоздкой.

Результаты этого параграфа понадобятся нам только в § 61, 66 и 98.

2. Рассмотрим вектор-потенциал А произвольной системы токов, циркулирующих в произвольном объеме V:

где расстояние элемента тока до точки наблюдения в которой определяется значение А, мы обозначили через

Выберем внутри рассматриваемой системы токов произвольную точку О, которую условно назовем центром токов. Пусть суть соответственно расстояния точки наблюдения и

элемента тока от центра О, так что

(см. рис. 27, где соответствуют нашим теперешним

Если т. е. если расстояние точки наблюдения от системы токов значительно превышает размеры этой системы, то в разложении

можно ограничиться первыми двумя выписанными членами. Внося это разложение в выражение для А, получаем

Легко убедиться, что

поэтому

где мы вынесли за знак интеграла вектор не зависящий от положения элемента интегрирования и где мы обозначаем через К интеграл

Чтобы преобразовать этот интеграл, умножим его на произвольный, но постоянный вектор а и воспользуемся тем, что, согласно формулам векторного анализа (11 и (432),

где при дифференцировании вектор считается постоянным.

Так как мы рассматриваем постоянные токи, то, согласно (37.4), и следовательно, на основании теоремы Гаусса (17

где поверхностный интеграл берется по поверхности объема интегрирования Так как это равенство выполняется при любом выборе постоянного вектора а, то из него следует, что

Введем, наконец, обозначение

Определяемый этим уравнением вектор называется магнитным моментом токов, циркулирующих в объеме или просто магнитным моментом объема V. Внеся в (57.3) выражения для получаем окончательно

3. Отношение двух последних членов к первому члену правой части выражения (57.5) по порядку величины, вообще говоря, равно где I означает поперечный размер объема Поэтому на расстояниях Но, больших по сравнению с на которых только и справедлива формула (57.5), последние два члена в этой формуле, вообще говоря, малы по сравнению с первым, так что приближенно можно ограничиться первым членом

смысл которого очевиден.

Если, однако,

то значение А определяется двумя последними членами формулы (57.5). Так обстоит дело, в частности, в случае произвольной системы замкнутых токов, заключенных в объеме V, т. е. в том случае, если через поверхность ограничивающую объем V, никаких токов не протекает:

Докажем, что из условия (57.7) в случае постоянных токов действительно вытекает равенство (57.6). При условии (57.7) рассматриваемая система постоянных токов может быть разложена

на совокупность замкнутых нитей тока, расположенных целиком внутри объема Интегрирование по объему каждой нити может быть, согласно (44.6), заменено интегрированием по ее длине:

Последний же интеграл по замкнутому контуру нити, очевидно, равен нулю, откуда и следует справедливость (57.6).

При выполнении условия (57.7) обращается в нуль не только первый член формулы (57.5), но и ее последний член. Поэтому вектор-потенциал замкнутой системы токов на больших расстояниях от нее равен

Здесь мы отбросили индекс 0, так что в отличие от прежнего означает расстояние точки наблюдения от системы токов, характеризуемых ее моментом При этом несущественно, от какой именно точки этой системы токов измеряется расстояние ибо сама формула (57.8) получена нами в предположении, что расстояние точки наблюдения от системы токов велико по сравнению с размерами этой системы.

Итак, на этих расстояниях магнитное поле замкнутой системы токов определяется ее магнитным моментом подобно тому как электрическое поле нейтральной системы зарядов определяется ее электрическим моментом

Существенно, что значение магнитного момента системы токов, удовлетворяющей условию (57.6), не зависит от выбора того условного центра системы О, от которого отсчитываются расстояния в формуле (57 4). Действительно, если сместить центр системы из точки О на произвольный отрезок а в точку О, то все расстояния от центра изменятся на —а.

Поэтому определяемый формулой (57.4) вектор изменится на величину

(ибо постоянный вектор а можно вынести за знак интеграла), которая на основании (57.6) обращается в нуль.

4 Рассмотрим теперь результирующую силу действующую во внешнем магнитном поле на замкнутую систему токов, удовлетворяющую как условию (57.7), так и вытекающему из него равенству (57-6).

Согласно (44.4) слагающая по оси z этой силы равна

В однородном внешнем поле эта сила равна нулю, ибо постоянный вектор можно вынести за знак интеграла, а интеграл согласно (57.6), равен нулю.

Допустим, что поле настолько медленно изменяется на протяжении рассматриваемой системы токов, что на всем ее протяжении можно ограничиться первыми членами разложения по степеням расстояния от условного центра системы токов О:

и аналогично для Ну и Здесь х, у, z суть слагающие расстояния произвольнои точки поля от центра — значения соответствующих производных в точке таким образом, как ), так и суть постоянные и от х, у, z не зависят. Внеся это разложение в выражение для и воспользовавшись уравнением (57 6), получим

Докажем, что из условия (57.7) замкнутости токов вытекают уравнения

Согласно (6 и (435),

Так как в случае постоянных токов то, воспользовавшись теоремой Гаусса (17, получаем

На основании (57.7) последний интеграл обращается в нуль, что и требовалось доказать.

Далее, в тождестве

последний член может быть представлен в виде

Так как

и следовательно, на основании теоремы Гаусса

Последний интеграл на основании (57.7) равен нулю, первый же интеграл справа, согласно (57.4), равен так что

Остальные равенства (57.9) получаются из доказанных надлежащей перестановкой осей координат х, у, z.

Воспользовавшись уравнениями (57.9), мы получаем следующее выражение для

Приняв во внимание, что, согласно (47.1),

получаем

ибо магнитный момент системы от координат точки поля не зависит, и поэтому можно вынести за знак производной. Выражения для будут совершенно аналогичны; записав их в векторной форме, получим окончательно

что по своей форме полностью совпадает с (56.6).

Наконец, момент сил, приложенных к элементу тока равен

При интегрировании этого соотношения по объему системы токов мы пренебрежем изменениями на протяжении этой системы, т. е. будем считать постоянным вектором. Так как, согласно (57.9),

то

Этот интеграл отличается от второго интеграла в (57 2) только заменой на Поэтому из сравнения (57.2) с (57 8) получаем следующее выражение для магнитного момента сил, действующих в однородном поле на замкнутую систему токов:

что совпадает с (56.7)

5. Покажем теперь, что в случае линейного тока результаты этого параграфа полностью совпадают с результатами § 56.

Рассмотрим сначала выражение (57.4) для магнитного момента токов. Переходя к случаю линейных токов, его можно преобразовать с помощью формулы (44.6), в результате чего получим:

Входящий в это выражение интеграл имеет простое геометрическое значение.

Как явствует из рис. 62, произведение есть не что иное, как векторная величина элемента поверхности конуса, образованного радиусами-векторами проведенными из условного центра токов О ко всем точкам контура тока Стало быть,

где означает векторную величину поверхности, опирающуюся на контур тока, которая, как указывалось в § 56, от выбора этой поверхности не зависит. Таким образом, два данных нами определения магнитного момента токов формулы (56.2) и (57.4) — в случае линейных токов, к которым только и применимо (56.2), действительно оказываются тождественными друг другу.

Рис. 62

Рассмотрим теперь поле системы токов на расстояниях от этой системы, значительно превышающих ее размеры. Согласно (46 2) и (57.8) напряженность этого поля равна

тогда как в § 56 мы получили для нее выражение (56.4):

Покажем, что эти выражения отличаются друг от друга лишь по внешнему виду. Из (57.12) и (43з) следует:

Так как

то

Далее,

ибо от координат точки наблюдения х, у, z не зависит; поэтому

Окончательно получаем

что, как и требовалось доказать, совпадает с (57.13).

Наконец, что касается сил, испытываемых током во внешнем поле, то, как уже указывалось, соответственные формулы этого и предшествующего параграфов даже по внешнему виду не отличаются друг от друга.