§ 9. Емкость. Конденсаторы

1. Одна из характернейших особенностей электростатического поля состоит в том, что в случае электростатического равновесия потенциал поля имеет постоянное значение на всем

протяжении каждого отдельного проводника 1). Действительно, в случае электростатического равновесия напряженность поля внутри проводника равна нулю (§ 5). Так как любые две точки проводника можно соединить линией, целиком лежащей в этом проводнике, то, стало быть, разность потенциалов этих точек, определяемая линейным интегралом вектора [уравнение (8.2)], равна нулю, что и требовалось доказать.

Это обстоятельство дает возможность в случае электростатического поля говорить просто о потенциале проводника (т. е. потенциале каждой из его точек).

2. Емкостью уединенного проводника, т. е. проводника, бесконечно удаленного от всех остальных проводников, называется заряд, необходимый для сообщения этому проводнику потенциала, равного единице. При этом предполагается, что аддитивная постоянная в выражении потенциала выбрана так, что в бесконечности потенциал равен нулю. Емкость принято обозначать буквой С.

3. Заметим, что емкость уединенного шара (в абсолютных единицах) численно равна его радиусу. Действительно, внешний потенциал поля шара радиуса а и заряда равен На поверхности шара Таково же значение потенциала и внутри всего шара. Стало быть, потенциал шара будет равняться единице при а это и значит, что емкость С шара равна а:

Из этого уравнения явствует, что в абсолютных единицах емкость должна иметь размерность длины. Действительно,

Таким образом, в абсолютной системе единиц емкость измеряется в единицах длины, причем емкость в 1 см равна емкости уединенного шара радиуса 1 см.

Так как практическая единица заряда (кулон) в раз больше, а практическая единица потенциала (вольт) в 300 раз меньше соответствующих абсолютных единиц, то практическая единица емкости — фарада в 9-1011 раз больше абсолютной единицы:

Эта единица емкости столь велика, что обычно емкость выражается либо в сантиметрах, либо в микрофарадах (миллионных

долях фарады):

4. Если проводник не уединен, то потенциал, приобретаемый им при сообщении ему определенного заряда, существенно зависит от формы и расположения других проводников. Обусловливается это тем, что поле заряженного проводника вызывает перераспределение зарядов на всех соседних с ним проводниках, в том числе, конечно, и на незаряженных (электростатическая индукция). По достижении равновесия заряды проводников располагаются на них так, что внутри каждого проводника результирующее поле индуцированных зарядов и заряда индуцирующего равно нулю (условие электростатического равновесия, см. § 5). Конечно, этот процесс связан с перераспределением заряда и на самом индуцирующем проводнике. Таким образом, потенциал заряженного проводника оказывается суммой потенциалов собственного перераспределившегося заряда этого проводника и зарядов, индуцированных им на других проводниках. Определение зависимости этого результирующего потенциала а вместе с тем и емкости проводника от формы и расположения смежных с ним проводников связано, вообще говоря, со значительными математическими трудностями.

5. Можно, однако, достигнуть полной независимости системы проводников от расположения и электрического состояния всех посторонних проводников путем электростатической защиты их, т. е. путем заключения их в металлическую оболочку. Заряды, расположенные вне оболочки, не влияют на электрическое состояние пространства внутри нее, ибо поле этих внешних зарядов во внутреннем пространстве компенсируется полем зарядов, индуцированных ими на внешней поверхности оболочки. Действительно, если бы оболочка была целиком заполнена металлом, т. е. образовывала бы сплошной проводник, то напряженность поля внешних зарядов и зарядов, индуцированных ими на внешней поверхности оболочки, должна была бы равняться нулю во всех внутренних точках проводника. Очевидно, что она останется равной нулю и по удалении из проводника его внутренних участков.

Итак, металлическая оболочка полностью устраняет зависимость электрического состояния внутреннего пространства от пространства внешнего, ибо пространства эти оказываются разделенными толщей металла, в котором поле равно нулю. Поэтому электростатическая защита всегда применяется при точных измерениях для устранения внешних воздействий на электрические измерительные приборы, аппараты и т. д.

Заметим еще, что заряды проводников, расположенных внутри оболочки, индуцируют на ее внутренней поверхности заряд, равный им по величине и противоположный по знаку, в чем

можно убедиться, применив теорему Гаусса (3.6) к замкнутой поверхности проведенной в толще оболочки (рис. 14): поток электрического вектора через эту поверхность, очевидно, равен нулю. При этом на внешней поверхности оболочки сосредоточивается заряд, равный (по величине и знаку) заряду проводников, расположенных внутри оболочки.

Рис. 14

6. Обратимся к случаю конденсатора, состоящего из двух (или нескольких) изолированных проводников («обкладок»), из которых один полностью заключен внутри другого, как это имеет, например, место в шаровом и в бесконечном цилиндрическом конденсаторах. Ввиду указанной независимости поля между обкладками такого конденсатора от расположения окружающих его проводников емкость его также не зависит от посторонних обстоятельств. При этом под емкостью конденсатора в отличие от емкости уединенного проводника нужно понимать отношение заряда конденсатора к разности потенциалов этих обкладок (а не к потенциалу какой-либо из обкладок):

Далее, зарядом конденсатора называется абсолютная величина равных по величине и противоположных по знаку зарядов каждой из обкладок конденсатора.

При этом под зарядом обкладок конденсатора нужно понимать только заряды, расположенные на внутренних, обращенных друг к другу поверхностях этих обкладок.

В том случае, если из двух (или нескольких) проводников ни один не составляет замкнутой системы, охватывающей собою остальные проводники, емкость этой системы проводников (этого конденсатора) практически не будет зависеть от расположения окружающих тел только в том случае, если размеры проводников будут велики по сравнению с расстоянием между ними. Лишь при этом условии пространство между обкладками

конденсатора, если не полностью, то в значительной мере будет защищено самими обкладками от воздействия внешнего поля.

Задача 8. Показать, что емкость С плоского, цилиндрического и шарового конденсаторов равна соответственно: плоский конденсатор:

цилиндрический конденсатор:

шаровой конденсатор:

где поверхность пластин конденсатора, их взаимное расстояние, I — длина, радиусы внутреннего и внешнего цилиндров и, наконец, радиусы внутренней и внешней шаровой поверхности.

Примечание. Так как емкость цилиндрического конденсатора пропорциональна его длине I, то можно говорить о «емкости единицы длины конденсатора» С, равной

Очевидно, что

где х — заряд единицы длины конденсатора. Конечно, понятие емкости единицы длины (как, впрочем, и приведенное выражение для С) можно применять лишь в том случае, если длина цилиндрического конденсатора настолько велика по сравнению с расстоянием между его обкладками, что можно вовсе исключить из рассмотрения концевые участки конденсатора, в которых поле его существенно искажается; лишь в этом случае С пропорционально