§ 26. Вывод уравнений поля в диэлектриках путем усреднения микроскопического поля

1. В развитие идей, изложенных в предыдущем параграфе, мы поставим теперь задачу путем непосредственного усреднения уравнений истинного микроскопического поля вывести уравнения для средних макроскопических значений, характеризующих поле величин вывести уравнения, полученные нами несколько иным путем в § 22. При этом мы будем исходить из предположения, что основные уравнения электростатического поля

строго справедливы для истинного микроскопического поля, если под понимать истинную плотность электричества, отличную от нуля лишь внутри отдельных атомов (вернее, внутри электронов и атомных ядер).

2. Из (25.2) непосредственно вытекает, что среднее значение электрического вектора равно градиенту от среднего значения потенциала т. е. что остается справедливым и для макроскопических величин. Уравнение же (11.1) принимает вид

где под надо понимать среднее значение истинной плотности электричества, т. е. сумму плотностей электричества свободного и связанного:

Однако плотность связанного в диэлектрике электричества определяется его поляризацией, т. е. в свою очередь зависит от напряженности поля Поэтому уравнением (26.1) удобно будет пользоваться лишь в том случае, если из него исключить плотность связанного электричества, для чего необходимо определить зависимость рсвзн от напряженности поля

3. Выделим в диэлектрике поверхностью некоторый объем V, размеры которого велики по сравнению с расстояниями между молекулами, и предположим для простоты, что диэлектрик состоит из нейтральных молекул и что свободных, не связанных с молекулами диэлектрика зарядов в объеме нет. Вообще говоря, поверхность пересечет некоторое число молекул так,

что одни из зарядов этих молекул окажутся вне объема V, а другие — внутри него. Поэтому, несмотря на то, что каждая молекула диэлектрика в целом нейтральна, общий заряд объема V, а стало быть, и средняя плотность электричества в нем, может оказаться отличным от нуля. Чтобы определить величину этого заряда, заменим для упрощения молекулы диэлектриков эквивалентными диполями (рис. 32) и рассмотрим физически бесконечно малый элемент поверхности Средняя векторная длина 1 диполей, находящихся в физически бесконечно малом слое диэлектрика, прилегающем к будет связана с поляризацией этого слоя соотношением (20.7)

откуда

Элемент пересечет все те диполи, центры которых расположены в прилегающем к нему слое толщины (рис. 33).

Рис. 32

Рис. 33

Объем этого слоя равен Следовательно, число диполей, рассекаемых элементом надвое, равно абсолютная же величина некомпенсированного заряда в объеме V, соответствующего рассматриваемым диполям, равна

При этом, если угол между внешняя нормаль к острый, т. е. то внутри поверхности находятся

отрицательные заряды рассекаемых ею диполей в противном же случае, при заряды положительные Стало быть, алгебраическая величина нескомпенсированного заряда равна

4. Чтобы определить общий заряд находящийся в объеме V, достаточно, очевидно, проинтегрировать полученное выражение по всей граничной поверхности объема воспользовавшись затем (17, получим

С другой стороны, очевидно, что

так что окончательно получаем уже знакомую нам формулу (21.2):

Таким образом, плотность связанных зарядов в диэлектрике определяется дивергенцией его поляризации. В частности, если постоянно, то, рассматривая, например, поверхность куба, легко усмотреть и непосредственно, что передняя и задняя (по направлению грани этого куба пересекут одинаковое число диполей; поэтому алгебраическая сумма зарядов (а стало быть, и средняя плотность электричества внутри куба) будет равна нулю.

Отметим, что, согласно (21.7),

и, следовательно, и рсвзн могут быть отличны от нуля лишь в том случае, если диэлектрик неоднороден либо если Последнее неравенство, как следует из (6.5), означает (при что в диэлектрике находятся свободные заряды, не связанные с его молекулами.

5. Справедливость формулы (26.3) предполагает, конечно, непрерывность вектора на поверхностях же разрыва сплошности этого вектора формула (26.3), согласно (6.7) и (6.8), принимает вид

где есть средняя поверхностная плотность связанных зарядов на поверхности разрыва, поверхностная дивергенция вектора Так как равно то поверхности разрыва этого вектора, т. е. поверхностные заряды связанного электричества, должны совпадать либо с поверхностями раздела двух

сред (скачок поляризуемости а), либо с поверхностями разрыва вектора последние поверхности, как следует из (22.8), в свою очередь совпадают с поверхностными зарядами свободного электричества.

В справедливости формулы (26.4) можно убедиться также путем непосредственного рассмотрения расположения диполей, индуцированных в молекулах диэлектрика. Очевидно, что появление поверхностных связанных зарядов объясняется тем, что заряды диполей, прилегающих к противоположным сторонам поверхности разрыва вектора поляризации, не могут взаимно компенсироваться.

6. Возвратимся к формуле (26.1). Воспользовавшись формулами (26.2) и (26.3), мы можем ее записать в следующем виде:

или

Это уравнение совпадает с формулой (22.2), ибо в ней по самому ее смыслу под нужно понимать среднюю напряженность микроскопического поля а под среднюю плотность свободного электричества

Из (21.5) и из (10.2) непосредственно следует система дифференциальных уравнений макроскопического поля в диэлектрике система § 22], что и требовалось доказать.