§ 112. Закон Ома и электромагнитная индукция в движущихся проводниках. Униполярная индукция

1. Формула (111.6) для плотности токов проводимости в движущихся проводниках

отличается от соответствующей формулы (38.1) для неподвижных проводников

только заменой на эффективную напряженность электрического поля Основываясь на этом, можно сразу перенести результаты теории токов в неподвижных проводниках на случай движущихся проводников. Так, например, сила тока в участке 1, 2 движущегося проводника сопротивления по аналогии с (38.4) равна

где означает стороннюю электродвижущую силу, а эффективное напряжение, прилаженное к этому участку проводника

В случае лишенного разветвления замкнутого квазилинейного тока по аналогии с (38.6) получаем

где и есть полное эффективное напряжение и полная сторонняя ЭДС в цепи тока:

Уравнение (112.3) совпадает с нашим прежним уравнением (77.2), ибо ЭДС индукции с которой мы оперировали в § 77 и вообще в гл. VI, и полное эффективное напряжение являются тождественными понятиями. Действительно, на основании теоремы Стокса и уравнения Максвелла (II)

где означает поверхность, опирающуюся на контур Далее, заменяя в приведенном на с. 350 выводе уравнения

на на на убеждаемся, что

где означает скорость изменения потока магнитной индукции через поверхность вычисленную в предположении, что индукция В не меняется во времени, т. е. ту часть скорости изменения потока, которая обусловлена движением контура Таким образом,

так как равно той части скорости изменения потока индукции через контур которая обусловлена изменением индукции во времени и в которой не учитывается движение контура. Очевидно, что

где без индекса означает полную скорость изменения потока индукции через контур обусловленную как изменением во времени индукции В, так и движением контура. Итак, окончательно

что, как и требовалось доказать, совпадает с выражением (77.1) для .

2. Таким образом, формулы (112.4) и (112.7) эквивалентны сформулированному в § 77 закону индукции, согласно которому ЭДС индукции в произвольном замкнутом контуре определяется скоростью изменения потока магнитной индукции через этот контур. Этот закон можно и должно, однако, уточнить в том смысле, что его нужно применять к материальному контуру, т. е. к образующей замкнутый контур совокупности материальных точек (элементов) среды. Другими словами, при вычислении изменения потока индукции через данный контур нужно считать, что в момент времени этот контур образуется теми же материальными точками среды, которыми он образовывался в предшествующий момент Это ясно из приведенного вывода формулы (112.7), в особенности из уравнения (112.5), согласно которому равно разности потоков через данный контур и через контур, точки которого смещены относительно данного на расстояние

3. Это правило вычисления нуждается в дополнительном уточнении в тех случаях, когда материальный контур, бывший в момент замкнутым, оказывается благодаря движению среды разомкнутым в последующий момент Разберемся в

этом случае на примере так называемой униполярной индукции и униполярной машины.

В принципе униполярная машина (это неудачное название объясняется историческими причинами) состоит из вращающегося вокруг своей оси цилиндрического постоянного магнита. Если при помощи скользящих контактов присоединить проводник к оси и к боковой поверхности вращающегося магнита (рис. 90), то по проводнику пойдет ток. В случае равномерного вращения цилиндрического магнита напряженность электромагнитного поля и плотность тока в каждой точке пространства будут постоянными во времени.

Рис. 90

Применим закон индукции к какому-либо контуру, проходящему по внешнему проводу и по магниту, например к контуру В момент времени материальные точки, находившиеся в момент на этом контуре, сместятся на расстояние и займут положение Стало быть, для определения ЭДС индукции в контуре нужно вычислить разность потоков индукции через этот контур и через контур Обозначим эти потоки соответственно через так что

Однако контур в отличие от контура не замкнут, так что, строго говоря, понятие потока через этот незамкнутый контур не является определенным.

Обратимся поэтому к приведенному выше выводу закона индукции (112.7). Из (112.6) и (112.5) следует, что в рассмотренном случае под надо понимать величину

причем интеграл должен быть взят по замкнутому контуру Так как только на участке этого

контура, то

Легко убедиться, что это выражение для с точностью до величин второго порядка относительно равно потоку индукции через бесконечно малый круговой сектор Поэтому при вычислении из соотношения под можно понимать поток через замкнутый контур получающийся замыканием деформированного движением контура отрезком траектории, описанной точкой С разрыва контура. В этом и заключается уточнение закона индукции (112.7), применимое, как нетрудно убедиться, к любому разрывному движению контура.

4. Возвращаемся к униполярной машине. Как мы убедились, ЭДС индукции в контуре равна

Подобным же образом можно вычислить для любого другого замкнутого контура. Для каждого фиксированного в пространстве контура величина имеет постоянное, не меняющееся во времени значение. При вычислении токов, возбуждаемых в магните и во внешнем проводнике этими ЭДС индукции, уже не нужно больше учитывать вращение магнита; влияние этого вращения полностью учитывается значением

Однако при рассмотрении униполярной машины проще исходить не из интегральной формы (112.7) закона индукции, а непосредственно из закона Ома для движущихся сред [уравнение (111.6)]. Из (111.6) следует, что сила тока во внешнем участке цепи и распределение токов по объему магнита будут такими же, как в случае покоящегося магнита, по объему которого распределены сторонние ЭДС напряженности:

Этому же случаю покоящегося магнита с распределенной ЭДС Естр будет соответствовать и напряженность электрического поля внутри и вне магнита.

Действительно, из уравнения непрерывности и закона Ома (111.6) следует, что

Так как стационарное электрическое поле обладает потенциалом то этим уравнением вектор определяется однозначно (если считать заданной индукцию В внутри магнита). То же самое уравнение для получается из уравнения (38.1) и для неподвижного магнита, по объему которого распределены сторонние ЭДС напряженности (112.8).

Рассмотрим в виде примера равномерно вращающийся цилиндрический магнит, к которому никакие проводники не присоединены и в котором поэтому токи не циркулируют. Отсутствие токов означает, что направленная по радиусу цилиндра лоренцева сила В компенсируется внутри магнита радиальным электрическим полем т. е. что внутри магнита

Допустив для простоты, что вектор В в магните имеет постоянное значение и направлен по оси вращения, получаем

где и) означает угловую скорость вращения магнита. Таким образом, между цилиндрической поверхностью магнита и его осью устанавливается разность потенциалов

где а означает радиус магнита. Зная потенциал на поверхности магнита, можно определить поле и во внешнем пространстве. С другой стороны, если присоединить один конец А проводника к оси, а другой его конец В к поверхности цилиндра (см. рис. 90), то благодаря разности потенциалов между точками по проводнику потечет ток. Конечно, при замыкании цепи разность потенциалов между уменьшится, подобно тому как уменьшается разность потенциалов между электродами аккумулятора при замыкании внешней цепи, соединяющей эти электроды.

5. В чем причина возникновения в изолированном вращающемся магните радиального электрического поля Частично это поле обусловливается перераспределением электронов проводимости в магните под воздействием лоренцевой силы Однако основная часть электрического поля, возникающего при движении магнита, имеет чисто релятивистское происхождение и связана с тем отмеченным при обсуждении формулы (111.13) обстоятельством, что, согласно теории относительности, движение намагниченной среды возбуждает электрическое поле. В чистом виде этот релятивистский эффект проявляется не при вращении магнита, а при

равномерном поступательном его движении со скоростью и, перпендикулярной оси магнита. В этом случае связанная с магнитом система координат будет инерциальной, причем в этой системе координат электрическое поле будет, очевидно, равно нулю, если в поле магнита нет других тел, например скользящего по магниту внешнего проводника. Применяя к этому случаю релятивистские формулы преобразования поля (115.7), нетрудно убедиться, что в «неподвижной» (лабораторной) системе координат напряженность электрического поля (вплоть до величин порядка будет равна

где В — индукция магнитного поля, измеренная в системе В этом выражении можно с точностью до величины порядка заменить В значением В индукции в «неподвижной» системе координат что совпадает с (112.9). Таким образом, в случае поступательного движения магнита формула (112.9) оказывается применимой ко всем точкам поля как внутри, так и вне магнита и притом вне всякой зависимости от того, является ли магнит проводником электричества или изолятором. Таким образом, возникновение электрического поля при поступательном равномерном движении магнита объясняется тем, что, как будет показано в § 115, деление электромагнитного поля на поле электрическое и поле магнитное имеет относительный характер и зависит от системы отсчета.

Задача 39. Железный намагниченный шар радиуса а, находящийся в проводящей среде (например, в электролите), вращается вокруг своего центра с постоянной угловой скоростью Магнитная индукция Во поля, возбуждаемого постоянным намагничением шара, постоянна по всему его объему и направлена параллельно оси вращения. Показать, что потенциал электрического поля, возбуждаемого вращением шара, равен

где соответственно электропроводности железа и электролита, радиус-вектор, проведенный из центра шара в данную точку пространства, а в — полярный угол между и осью вращения. Показать, что линии электрического тока в электролите начинаются у экваториальной области поверхности шара и заканчиваются в полярных областях этой поверхности, причем области эти разграничены параллельными кругами, соответствующими углам