§ 49. Пограничные условия в магнитном поле токов. Поверхностные токи. Поверхностный ротор. Поле бесконечного соленоида

1. С целью установления пограничных условий, которым должен удовлетворять вектор магнитного поля на поверхностях разрыва, предположим сначала, что во всех проводниках и, в частности, в проводящих ток тонких слоях, если такие существуют, объемная плотность токов всюду остается конечной. Будем затем стремить толщину этих обтекаемых током слоев к нулю и потребуем, чтобы уравнения поля (47.1) и (47.3) оставались справедливыми в этих слоях и в предельном случае при

Этим требованием искомые пограничные условия определяются однозначно.

Действительно, на основании этого требования из уравнения (47.1) получим, согласно уравнению (6.7), пограничные условия для нормальной слагающей вектора Н:

Интегрируя же уравнение (47.3) по поверхности получим на основании теоремы Стокса (27 уравнение (47.4)

Возьмем произвольный слой толщины отделяющий среду 1 от среды 2, и рассмотрим элемент нормального сечения этого слоя заштрихованный на рис. 48. Применим интегральное уравнение (47.4) к этому элементу. Направление положительного обхода этого участка выберем, например, так, как указано на рисунке.

Рис. 48

Если мы станем стремить к нулю толщину слоя оставляя длину рассматриваемого участка неизменной, то площадь этого участка будет также стремиться к нулю. Левая же часть уравнения (47.4) при сведется (вплоть до величин второго порядка малости) к

где суть значения вектора в первой и второй средах, единичный вектор, касательный к поверхности раздела и лежащий в плоскости сечения слоя.

Что же касается правой части уравнения (47.4), то она пропорциональна силе тока, протекающего через площадку и поэтому сведется к нулю при если объемная плотность тока конечна, как мы всегда до сих пор предполагали. Однако в ряде случаев, если токи сосредоточены в слое весьма малой толщины, удобно рассматривать предельный случай токов, протекающих по бесконечно тонким поверхностям, т. е. токов поверхностных (ср. объемные и поверхностные электрические заряды).

2. Под плотностью поверхностных токов, в отличие от плотности токов объемных, мы будем понимать количество электричества, протекающего в единицу времени через единицу длины отрезка, расположенного на поверхности, по которой

течет ток, и перпендикулярного направлению тока. Если отлично от нуля, то сила тока, протекающего через заштрихованную площадку (см. рис. 48), в пределе при окажется, очевидно, равной

где есть перпендикулярная к слагающая плотности поверхностного тока. Мы ввели здесь индекс вместо чтобы сохранить за значение нормали к поверхности раздела направлено из среды 1 в среду 2). Под нужно понимать единичный вектор, касательный к поверхности и перпендикулярный к касательному же вектору

Внося полученные выражения в (47.4), найдем после сокращения на искомое пограничное условие:

Из рассмотрения рис. 48, в котором, соответственно избранному нами направлению обхода заштрихованной площадки вектор должен быть направлен на читателя, можно убедиться, что взаимно перпендикулярные единичные векторы составляют правовинтовую систему (рис. 49), так что

Рис. 49

Стало быть,

Внося это в предшествующее уравнение, получим

Так как может иметь произвольное направление в плоскости раздела, то

Это уравнение и представляет собой то пограничное условие, которому при наличии поверхностных токов на поверхности раздела должны удовлетворять касательные слагающие вектора (ибо лишь эти слагающие и входят в выражение

При отсутствии поверхностных токов это пограничное условие принимает вид

Это уравнение означает, что слагающие напряженности поля касательные к произвольной поверхности, непрерывны,

т. е. что при отсутствии поверхностных токов для любого касательного направления

Очевидно, что уравнения (49.4) и (49.5) эквивалентны друг другу.

3. Из предшествующего явствует, что, вообще говоря, если два произвольных вектора связаны соотношением

то на поверхностях разрыва этих векторов связывающее их соотношение принимает вид

где получается из предельным переходом типа (49.2). Поэтому левую часть последнего уравнения принято называть поверхностным ротором вектора а и, в отличие от обыкновенного ротора, обозначать через с прописной буквы

(ср. определение поверхностной дивергенции в § 6). По аналогии с уравнением (6.8) мы, таким образом, можем выразить только что сформулированное положение в следующем символическом виде;

4. Итак, пограничные условия (49.1) и (49.3) для магнитного поля постоянных токов могут быть записаны следующим образом:

Пограничные условия (4.3) и (7.7) для стационарного электрического поля в вакууме на основании эквивалентности уравнений типа (49.4) и (49.5) могут быть записаны так:

Уравнения

представляют собой полную систему дифференциальных уравнений магнитного поля постоянных токов. Другими словами, системой магнитное поле определяется однозначно, если известно распределение токов и если на бесконечности удовлетворено условие

означающее, что все возбуждающие поле токи расположены в конечной области пространства [ср. (12.10) и (46.6)]; обратно, если задана напряженность поля в каждой точке пространства, то системой однозначно определяется распределение токов

Второе утверждение очевидно; для доказательства же первого предположим, что существуют два решения системы при заданных Внося оба решения в и вычитая затем соответственные уравнения одно из другого, получим

где Далее, полагая что всегда возможно, ввиду получаям на основании ( следующую цепь равенств:

Стало быть, интеграл от по произвольному объему, ограниченному поверхностью будет на основании (17 равен

причем поверхностный интеграл должен быть взят лишь по пограничной поверхности ибо во всем поле, согласно вектор а стало быть, и вектор остаются непрерывными.

Если теперь распространить интегрирование на объем полного поля то на основании (49.10) интеграл по пограничной поверхности обратится в нуль. Стало быть, откуда следует, что во всех точках поля обращается в нуль. Этим и доказывается однозначность решения системы

5. Заметим, что при наличии поверхностных токов выражения (44.3) и (46.1) для напряженности поля и для вектор-потенциала А принимают вид

где поверхностные интегралы должны быть распространены по всем поверхностям, обтекаемым поверхностными токами. В справедливости этих обобщенных выражений легко убедиться путем предельного перехода от токов объемных к токам поверхностным.

В дальнейшем мы повсюду, если только явно не будет оговорено противное, будем считать поверхностные электрические токи отсутствующими

Пример. Магнитное поле бесконечного цилиндрического соленоида. Предположим, что ток циркулирует по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра сечения Такой обтекаемый током цилиндр называется цилиндрическим соленоидом.

Пусть на единицу длины цилиндра приходится витков проводника. Если ход винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым кольцеобразным током той же силы. Если к тому же сечение проводника мало по сравнению с сечением цилиндра, то можно приближенно считать, что по бесконечно тонкой поверхности цилиндра циркулирует равномерно распределенный поверхностный ток плотности

Линии этого тока представляют собой окружности, образованные сечением поверхности цилиндра плоскостями, перпендикулярными его оси.

Предположим, что наш соленоид представляет собою цилиндр бесконечной длины. В этом случае поле вне соленоида Не равно нулю, а поле внутри соленоида однородно и равно

причем направлено по оси соленоида и составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему. Действительно, выражения (49.15), очевидно, удовлетворяют уравнениям соответствующим отсутствию объемных токов. Далее, всюду параллельно поверхности соленоида, т. е. поверхности разрыва поля, и поэтому Наконец, как легко убедиться, при указанном направлении выражения (49.15) удовлетворяют на поверхности соленоида также и уравнению Таким образом, выражения (49.15) удовлетворяют всем уравнениям системы ввиду полноты этой системы, представляют собою единственное решение задачи.

Очевидно, что формулы (49.15) приближенно применимы и к полю конечного соленоида в тех его участках, расстояние которых от концов соленоида велико как по сравнению с расстоянием до ближайших участков соленоида, так и по сравнению с поперечником соленоида. В сущности, только этот случай и имеют в виду, когда говорят о поле «бесконечного» соленоида.

Задача 31. Решить задачу 29, исходя из дифференциальных уравнений поля и, кроме того, показать, что поле вне полого цилиндра совпадает с полем линейного тока той же силы, протекающего по оси цилиндра.