§ 47. Дифференциальные уравнения магнитного поля. Циркуляция напряженности магнитного поля

1. Так как дивергенция всякого ротора всегда равна нулю [уравнение (42)], то из уравнения (46.2) непосредственно вытекает весьма важное уравнение:

С другой стороны, образовывая ротор от обеих сторон того же уравнения (46.2), получаем на основании уравнения (42):

или, ввиду уравнения (46.7),

Внося сюда выражение (46.5) для получаем окончательно:

Уравнения (47.1) и (47.3) представляют собой полную систему основных дифференциальных уравнений магнитного поля постоянных токов (см. § 49).

2. Рассмотрим циркуляцию магнитного вектора по произвольной замкнутой линии На основании теоремы Стокса (27 и уравнения (47.3) мы можем написать

причем поверхностные интегралы могут быть распространены по любой из поверхностей, опирающихся на контур (см. приложение, с. 593). Впрочем, нетрудно и непосредственно убедиться, что благодаря замкнутости постоянных токов значение этих поверхностных интегралов зависит лишь от контура поверхности интегрирования Действительно, согласно уравнению (36.3), равно силе тока проходящего через элемент поверхности в направлении ее положительной нормали. Следовательно,

где есть алгебраическая сумма сил токов, пронизывающих контур токи эти должны считаться положительными или отрицательными, в зависимости от того, составляют ли их направления с направлением положительного обхода контура право- или левовинтовую систему (рис. 47).

Рис. 47

Если же две поверхности опираются на один и тот же контур то совокупность этих поверхностей образует одну замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем Благодаря замкнутости постоянных токов количество электричества втекающего через в единицу времени в объем У, должно равняться количеству электричества вытекающего из этого объема через поверхность Таким образом, величина действительно будет одинакова для обеих поверхностей

Итак, согласно уравнению (47.5), циркуляция вектора напряженности магнитного поля по кривой, не охватывающей токов, равна нулю, циркуляция же по кривой, охватывающей токи, равна помноженной на сумме сил этих токов (взятых с надлежащими знаками). Эта теорема является одной из важнейших в теории магнитного поля.

Задача 30. Показать, исходя из уравнения (47.4), что напряженность поля тока силы протекающего по бесконечному прямолинейному круговому цилиндру радиуса равна

где есть расстояние точки поля от оси тока, причем силовые линии поля представляют собой концентрические току окружности. (См. также для сравнения задачу 25.)