§ 86. Зависимость электрического напряжения от пути интегрирования. Напряжение переменного тока

1. В § 48 мы убедились, что необходимое и достаточное условие того, чтобы вектор обладал (однозначным) скалярным потенциалом, состоит в равенстве нулю его ротора во всех точках пространства или, что сводится к тому же, в равенстве нулю его циркуляции по произвольному контуру [см. также § 7, в частности уравнение (7.6)]. Из уравнений (85.2) и (85.3) следует, что для электрического вектора это условие удовлетворяется только в стационарных полях и что, следовательно, электрический вектор переменного электромагнитного поля (однозначным) скалярным потенциалом не обладает.

2. В связи с этим целый ряд понятий, введенных нами при изучении обладающего потенциалом стационарного электрического поля, теряет в переменном поле непосредственный физический смысл. Так, например, в § 35 мы ввели понятие электрического напряжения существующего между двумя произвольными точками поля 1 к 2, определив его как линейный интеграл напряженности поля по произвольному пути, соединяющему точки 1 и 2 [уравнение (35 3)]:

В случае обладающего потенциалом стационарного поля, согласно уравнению (35.2), имеем

так что напряжение равно разности потенциалов точек 1 и 2 и однозначно определяется положением этих точек. В случае же переменного поля, лишенного потенциала, значение интеграла существенно зависит от выбора пути интегрирования, так что можно говорить лишь о напряжении существующем между данными точками 1 и 2 вдоль данного пути.

3. Недостаточное внимание к этому чрезвычайно важному отличию поля переменного от поля стационарного может привести к грубейшим ошибкам.

Пусть, например, 1 и 2 суть две произвольные точки некоторого замкнутого проводника к которым параллельно приключен гальванометр (рис. 72).

Рис. 72

Если есть общее сопротивление гальванометра и подводящих проводов, соединяющих его с точками 1 и 2, то сила тока в цепи гальванометра, согласно закону Ома [уравнение (35.4) или (38.4)], будет равна

В стационарном электромагнитном поле значение последнего интеграла от пути интегрирования не зависит. В переменном же поле формула (38.4), выражающая закон Ома, остается справедливой, как явствует из ее вывода, приведенного в § 38, лишь в том случае, если под понимать линейный интеграл вектора от точки 1 до точки 2, взятый вдоль того именно

проводника, по которому течет ток Так как значение этого интеграла в переменном поле существенно зависит от положения и формы пути интегрирования, то, стало быть, показания гальванометра будут существенно зависеть от расположения подводящих проводов.

Предположим, что в рассматриваемых проводниках сторонние электродвижущие силы отсутствуют. Пусть суть соответственно сопротивления, силы токов в участках контура Пусть, далее, есть поток магнитной индукции через контур поток ее через контур, образованный цепью гальванометра и участком контура (см. рис. 72). Выберем, наконец, определенным образом направление положительного обхода этих контуров, например так, как указано штриховой линией на рисунке. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру мы на основании уравнений (38.4) и (85.2) можем написать

(Знак минус перед введен потому, что, согласно рисунку, направление положительного обхода контура противоположно направлению тока Аналогичным образом для контура получим

Применяя, наконец, первый закон Кирхгофа к точкам разветвления цепи 1 и 2, получим

Исключая из этих уравнений найдем

Таким образом, показания гальванометра действительно существенно зависят от скорости изменения потока через контур в свою очередь зависящего от расположения цепи гальванометра.

4. Предположим, например, что собственным магнитным полем токов можно пренебречь по сравнению с «внешним» полем переменного тока заданной силы и периода, который циркулирует по соленоиду (рис. 73), охватываемому контуром

Допустим, далее, для упрощения, что магнитное поле соленоида можно с достаточной степенью точности считать сосредоточенным внутри соленоида, т. е. что вне соленоида

(см. пример в § 49). Пусть, наконец, При этих условиях легко показать 1), что в двух различных положениях цепи гальванометра, обозначенных на рисунке соответственно сплошной и штриховой линиями, ток в цепи гальванометра будет иметь одинаковую силу, но противоположное направление (например, в первом и во втором случае). Стало быть, если пользоваться термином «напряжение» между точками 1 и 2, без указания пути интегрирования, то мы должны сказать, что переброска цепи гальванометра слева направо влечет за собой изменение знака напряжения 12, приложенного к конечным точкам этой цепи 1 и 2.

5. Однако и в случае переменных токов при известных условиях и при соблюдении некоторой осторожности бывает иногда удобно пользоваться понятием напряжения.

Рис. 73

Рис. 74

Рассмотрим в виде примера наиболее простую схему сети центральной электростанции переменного тока, состоящую из двух почти замкнутых контуров концы которых соединены двумя близко расположенными друг к другу проводами и (рис. 74). Участок I включает в себя генераторную установку электростанции, а участок II — потребителей тока.

Пренебрегая потоком индукции через полоску, ограниченную проводами можем считать, что поток индукции через контур всей цепи равен сумме потоков через петли I и II] при вычислении потоков условимся считать петли эти дополненными до замкнутости прямолинейными отрезками В этом случае, согласно уравнению (77.2),

где общее сопротивление участка I вплоть до точек сопротивление участка II, а суть сторонние электродвижущие силы в этих участках.

Перепишем последнее уравнение в виде

где означает величину каждого из членов равенства.

Если петли достаточно удалены друг от друга, то их взаимной индукцией можно пренебречь и положить

где суть самоиндукции петель Существенно, что для определения величины в этом случае достаточно знать значения величин относящихся лишь к одному «генерирующему» участку Обратно, если известно, то сила тока в цепи может быть определена в зависимости от значения величин относящихся к одному лишь «потребляющему» участку причем играет роль добавочной сторонней электродвижущей силы, приложенной к почти замкнутому контуру

Эта именно величина и называется напряжением, приложенным к потребляющему участку цепи и возбуждаемым «генерирующим» участком цепи

6. Применим закон Ома к участку

Так как, с другой стороны,

то

где последний интеграл, согласно данному выше определению величины должен быть взят по кратчайшему пути, соединяющему точки с и Таким образом, напряжение равно линейному интегралу напряженности электрического поля по этому пути:

и, стало быть, может быть измерено по силе тока в гальванометре, включенном между точками При этом цепь

гальванометра может отклоняться от прямой лишь в таких (впрочем, на практике довольно широких) пределах, чтобы это отклонение не сказалось сколько-нибудь существенно на значении интеграла

7. Полагая для простоты, что контур тока не деформируется, так что самоиндукции петель I и 77 постоянны во времени, получаем на основании уравнения (81.8):

где w есть магнитная энергия поля тока в участке цепи Аналогичное соотношение справедливо и для участка II. Стало быть, умножив уравнение (86.1) на можем написать

Так как равно выделяемому током теплу, а равно работе сторонних электродвижущих сил (в единицу времени), то, следовательно, равно общей убыли энергии участка I цепи и вместе с тем равно приращению энергии участка II. Иными словами, равно энергии, передаваемой за единицу времени генерирующим участком I потребляющему участку II

Таким образом, при условии достаточной близости проводов и достаточной удаленности друг от друга участков I и II действительно оказывается весьма целесообразным вводить в рассмотрение определяемую уравнениями (86.1) и (86.2) величину называемую в технике напряжением переменного тока.