§ 101. Отражение и преломление плоских волн в диэлектриках

1. Несостоятельность механических теорий света прошлого столетия, основанных на представлении об упругом световом эфире, особенно отчетливо выявилась в безуспешных попытках этих теорий объяснить простейшие явления отражения и преломления света. Напротив, для объяснения этих явлений с точки зрения электромагнитной теории света ни к каким специальным допущениям прибегать не приходится.

В этом параграфе мы рассмотрим преломление и отражение плоских монохроматических волн на поверхности раздела двух однородных диэлектриков 1 и 2, диэлектрические постоянные которых обозначим через Далее, примем для простоты, что как мы увидим ниже, для световых волн это допущение общности наших рассуждений вовсе не ограничивает. При этих условиях скорость волн в первом и втором диэлектриках, согласно уравнению (100.6), будет соответственно равна с с

В предшествующем параграфе мы для упрощения записи предполагали, что направление оси z выбрано так, чтобы она совпадала с направлением волны. Приступая к рассмотрению совокупности нескольких волн различного направления (падающей, отраженной и преломленной), мы, очевидно, должны

предварительно обобщить формулы предыдущего параграфа на случай произвольного направления осей координат. Пусть направление волны совпадает с направлением единичного вектора образующего с осями координат х, у, z углы (рис. 84). В системе декартовых координат х, у, z, ось z которой совпадает с фаза этой волны в точке должна, согласно уравнению (100.5), определяться выражением

где z есть координата точки Эта координата равна проекции радиуса-вектора точки на направление оси стало быть,

где x, у, z суть координаты той же точки в исходной системе координат. Внося это в уравнение (100.5), получим искомые выражения векторов поля плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

где и Но суть постоянные комплексные амплитуды соответствующих векторов.

Рис. 84

2. После этих подготовительных замечаний приступим к решению намеченной задачи. Пусть плоская волна (101.3), распространяющаяся в среде 1 в направлении падает на плоскую поверхность раздела сред 1 и 2. После проникновения в среду 2 волна эта должна будет, очевидно, распространяться с иной скоростью как мы увидим, вообще говоря, в ином направлении, не совпадающем с Для определения амплитуды, направления и фазы этой, так называемой преломленной волны достаточно потребовать выполнения на поверхности раздела пограничных условий, перечисленных нами в § 91. При этом оказывается, что условия эти могут быть удовлетворены лишь в том случае, если допустить существование еще третьей, так называемой отраженной волны, распространяющейся в той же среде 1, как и волна падающая, однако в направлении от поверхности раздела.

Обозначим комплексные векторы поля падающей волны через волны отраженной через наконец, волны преломленной через и положим, согласно уравнению (101.3), что

аналогичных выражений для выписывать не будем. Первые две волны распространяются в среде 1, так что результирующая напряженность поля в этой среде будет равна

тогда как поле в среде 2 будет равно

Рассмотрим какое-либо из пограничных условий на поверхности раздела, например условие (II) непрерывности тангенциальных слагающих вектора В рассматриваемом случае оно примет вид

т. е.

Для того чтобы подобного рода условие могло выполняться при любом значении времени необходимо прежде всего, чтобы

Действительно, условие (101.4) имеет вид

где и с от времени не зависят.

Дифференцируя это равенство по получим

исключая из двух последних уравнений , получим

что может иметь место лишь при Исключая же из приведенных уравнений убедимся, что Стало быть, действительно т. е. частота волны не изменяется при ее отражении и преломлении.

Совершенно аналогичным образом можно убедиться, что должны выполняться равенства

где произвольный вектор, лежащий в плоскости раздела. Действительно, радиус-вектор произвольной точки поверхности раздела может быть представлен в виде

где лежит в плоскости раздела сред, радиус-вектор некоторой, произвольно фиксированной точки этой поверхности.

Следовательно, пограничное условие может быть представлено в виде

где величины от координат вектора не зависят. Дальнейшее доказательство равенства (101.6) протекает вполне аналогично доказательству равенства (101.5).

3. Для дальнейших вычислений удобно перейти к координатным выражениям. Пусть ось z перпендикулярна плоскости раздела сред 1 и 2. Тогда лежащий в этой плоскости вектор будет перпендикулярен оси z и уравнение (101.6) на основании уравнения (101.2) можно будет записать так:

где компоненты вектора суть соответственно углы векторов с осями Для упрощения записи выберем оси х и у так, чтобы направление распространения падающей волны лежало в плоскости (рис. 85). В этом случае Так как приведенное уравнение должно выполняться во всех точках плоскости раздела, т. е. при любых значениях то из него непосредственно следует:

и

Рис. 85

Первое из этих уравнений означает, что направления отраженной и преломленной волн лежат в плоскости т. е. в плоскости падения волны.

Примем теперь во внимание, что падающая и отраженная волны распространяются в среде 1, а преломленная — в среде 2 и что, стало быть, согласно уравнениям (100.6) и (101.5),

Следовательно, предшествующее уравнение может быть записано следующим образом:

Из этих равенств следует, во-первых, что Вводя, как обычно, углы падения и отражения в и явствует из рис. можем сказать, что угол падения в равен углу отражения

Далее, так как имеют одинаковые знаки, то направления падающей и преломленной волн должны лежать в одном и том же квадранте плоскости (см. рис. 85).

Введя угол преломления и заметив, что получим из уравнения (101.7):

или

Таким образом, отношение синусов углов падения и преломления есть величина постоянная, зависящая лишь от свойств граничащих сред 1 и 2. Отношение это, которое мы обозначим через как известно, называется показателем преломления среды относительно среды 1. На основании уравнения (101.1) можем написать

4. Итак, из одного лишь факта существования на границе двух сред линейных условий типа (101.4) непосредственно

следуют все геометрические законы преломления и отражения электромагнитных волн, совпадающие с соответствующими законами для волн световых. Более же детальное рассмотрение этих пограничных условий позволяет определить соотношение между квадратами амплитуд волны падающей и волн отраженной и преломленной. Эти соотношения оказываются тождественными с так называемыми формулами Френеля, определяющими сравнительную интенсивность отраженного и преломленного света в зависимости от коэффициента преломления, угла падения и поляризации падающего света. Этот вывод подтверждаемых опытом формул Френеля из общих положений электродинамики является одним из важнейших доказательств электромагнитной природы света. Не имея возможности приводить его здесь полностью, мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, а именно случая нормального падения плоской волны на поверхность раздела диэлектриков

Всякая плоская монохроматическая волна может быть разложена на совокупность двух линейно поляризованных волн, которые можно рассматривать порознь. Пусть электрический вектор падающей волны направлен по оси

Тогда, согласно (100.9), магнитный вектор падающей волны будет направлен по оси у и будет равен

Согласно законам отражения и преломления (101.7) и (101.8) преломленная и отраженная волны будут направлены соответственно по и против оси z. Как легко убедиться путем рассмотрения пограничных условий, электрические векторы этих волн так же, как и в падающей волне, направлены по оси х, а их магнитные векторы — по оси у, так что отличные от нуля слагающие этих векторов равны

Перед выражением для Ну стоит знак минус в соответствии с тем, что отраженная волна распространяется противоположно оси z [см. уравнение (100.9)].

Внесем эти выражения для в пограничные условия. Условие (101.4) непрерывности тангенциальных слагающих вектора на плоскости раздела после сокращения на дает

Соответственно этому условие непрерывности тангенциальных слагающих вектора дает

Нормальные к поверхности раздела слагающие векторов поля равны нулю, и поэтому относящиеся к ним пограничные условия (III) и (IV) удовлетворяются тождественно.

Разрешая полученные уравнения и воспользовавшись соотношением (101.9), получаем

Переходя к действительным частям комплексных выражений и считая действительным, можем написать

Обозначая через и средние за период плотности потока энергии в падающей, отраженной и преломленной волнах, получаем на основании (100.12):

Легко проверить с помощью (101.9), что эти выражения удовлетворяют закону сохранения, т. е. что средний за период поток энергии в падающей волне равен сумме средних потоков энергии в преломленной и отраженной волнах:

Коэффициентом отражения поверхности раздела двух сред называется отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей, или, иными словами, отношение средних за период потоков энергии в отраженной и в падающей волнах:

При т. е. при отражения, конечно, не происходит.

Таким образом, нами определены все параметры, характеризующие отраженную и преломленную волны в случае нормального падения первичной волны на поверхность раздела. Полученные нами выражения совпадают с соответствующими формулами Френеля.

5. Помимо вывода законов преломления и отражения света, которые были известны еще до выяснения его электромагнитной природы, изложенная нами теория позволяет установить непосредственное соотношение между коэффициентом преломления света и диэлектрической проницаемостью [формула (101.9)]. В частности, коэффициент преломления диэлектрика относительно вакуума (для которого оказывается равным

Для некоторых диэлектриков (например, воздух, бензол и т. д.) формула (101.14) действительно подтверждается опытом. Однако для многих веществ эта формула результатам измерений вовсе не соответствует:

Более того, уже самый факт существования дисперсии света, т. е. зависимости коэффициента преломления от длины волны, доказывает несостоятельность формул (101.9) и (101.14), согласно которым должно было бы иметь постоянное значение для всех электромагнитных волн.

6. Таким образом, феноменологическая максвеллова теория макроскопического поля приводит, вообще говоря, к неправильным значениям показателя преломления. Противоречие это, однако, весьма просто разрешается с точки зрения электронной теории микроскопического поля. Действительно, при выводе уравнений макроскопического поля в гл. II мы уподобили молекулы диэлектрика электрическим диполям. Если диполи эти квазиупруги, то они должны обладать собственным периодом колебания. Если этот собственный период близок к периоду световых волн, то амплитуда колебаний зарядов диполя, возбуждаемых переменным полем световой волны, должна существенно зависеть не только от амплитуды электрического поля волны но также и от периода (или длины) световой волны (резонанс). Стало быть, и амплитуда переменного вектора поляризации диэлектрика а вместе с тем и амплитуда вектора электрической индукции должны существенно зависеть от периода или длины световой волны. Таким образом, при учете особенностей микроскопического строения диэлектриков мы должны прийти к определенной зависимости значения диэлектрической проницаемости от длины волны, а стало быть,

согласно уравнению (101.14), и к выяснению явлений дисперсии света. Внося же в уравнение (101.14) значение диэлектрической проницаемости, измеренное в постоянном или медленно переменном поле, мы можем, очевидно, определить значение показателя преломления лишь для сравнительно длинных электромагнитных волн, период которых весьма велик по сравнению с собственным периодом колебания диполей диэлектрика. Для такого рода волн формула (101.14) действительно подтверждается опытом.

В том случае, если молекулы диэлектрика могут быть уподоблены твердым диполям, мы встречаемся с явлениями несколько иного характера. Существенная доля поляризации подобных диэлектриков сводится к повороту осей диполей (т. е. молекул) по направлению поля. В быстропеременных полях оси молекул диэлектрика, обладающих определенным моментом инерции, не успевают следовать за быстрыми изменениями направления поля. В результате диэлектрик поляризуется гораздо слабее, чем в постоянном электрическом поле той же напряженности. Поэтому значение диэлектрической проницаемости (а стало быть, и значение показателя преломления) в диэлектриках этого класса (вода, спирты и т. д.) быстро падает по мере уменьшения периода колебаний поля, причем это падение наступает при частотах гораздо меньших, чем частоты собственных колебаний квазиупругих молекулярных диполей (например, в некоторых спиртах уже при радиочастотах).

Совершенно аналогичным образом объясняется также и тот упомянутый в начале этого параграфа факт, что при изучении световых волн можно считать Действительно, восприимчивость диамагнитных веществ всегда столь незначительна, что при определении скорости света по формуле отличием от единицы можно пренебречь. Механизм же парамагнитного намагничения аналогичен механизму поляризации диэлектрика с твердыми диполями; поэтому парамагнитная восприимчивость к становится практически равной нулю, а проницаемость равной единице при частотах гораздо меньших, чем частота видимого света. Наконец, намагничение ферромагнетиков обусловливается изменением направления намагничения в отдельных намагниченных до насыщения вейссовых областях, а также изменением размеров этих областей (см. § 72). Эти процессы также не успевают следовать за изменениями поля световой волны, так что в оптическом отношении ферромагнетики практически не отличаются от диамагнетиков.