§ 28. Отличие действующего на диполь поля от среднего

1. В предыдущем параграфе при выводе соотношения (27.3) мы неявно допустили некоторую неточность. А именно, в (27.2)

мы должны, очевидно, понимать под средний момент диполей, находящихся в физически бесконечно малом объеме диэлектрика, а под напряженность среднего макроскопического поля. Чтобы получить формулу (27.3)

мы внесли в (28.1) соотношение (27.1)

справедливое для отдельного диполя. Следовательно, мы неявно допустили, что это последнее соотношение остается справедливым и для связи между средним моментом диполя и средней макроскопической напряженностью поля.

Между тем, по определению, есть коэффициент пропорциональности между моментом эквивалентного молекуле диполя и электрической силой, действующей на его заряды. Эта сила определяется напряженностью внешнего (по отношению к данному диполю) электрического поля в месте нахождения диполя, или, кратко выражаясь, в центре диполя. Стало быть, средний момент диполей должен быть равен

где есть средняя напряженность поля в точках расположения центров диполей, и притом поля, внешнего по отношению к каждому отдельному диполю. Между тем под понимается средняя напряженность поля в диэлектрике, при вычислении которой учитывается поле всех диполей во всех точках диэлектрика, а не только в центрах диполей. Очевидно, что будет, вообще говоря, отличаться от и что формулу (27.2) нужно заменить формулой

Так как очевидно, пропорционально то основное уравнение (21.7), конечно, остается в силе, однако поляризуемость единицы объема диэлектрика а не равна Обозначая коэффициент поляризуемости, вычисленный без учета отличия от через ско:

мы поставим задачу найти зависимость между а и ско, для чего в свою очередь необходимо найти зависимость между

2. Чтобы определить напряженность поля в центре какого-либо диполя О, опишем из этого центра сферу физически бесконечно малого радиуса. Поле в точке О будет слагаться,

во-первых, из поля всех зарядов, расположенных вне сферы 5, и, во-вторых, из поля зарядов, лежащих внутри за исключением зарядов самого диполя О.

Если бы мы вырезали и удалили из диэлектрика сферу то поле в образовавшейся сферической полости и было бы, очевидно, равно полю Поскольку заряды, возбуждающие это поле, находятся вне сферы 5, при определении можно пренебречь атомистической структурой диэлектрика и заменить совокупность его молекул непрерывно распределенным по его объему электрическим моментом плотности Далее, поскольку сфера имеет физически бесконечно малые размеры, поляризация окружающего сферу диэлектрика будет постоянной по величине и направлению. Итак, равно напряженности поля в сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного диэлектрика. До удаления сферы поле в равномерно поляризованном диэлектрике однородно и равно средней напряженности макроскопического поля По удалении же сферы из этого поля, очевидно, вычтется поле равномерно поляризованной сферы напряженность которого, согласно (24.3), равна Стало быть,

Таким образом, поле постоянно по всему объему сферы и не зависит от ее диаметра.

Что же касается величины которую мы для краткости назовем напряженностью «действующего на диполь» или «эффективного» электрического поля, то она, согласно изложенному, равна

Таким образом, задача определения эффективного поля сводится к задаче определения среднего поля возбуждаемого в центре диполя О прочими зарядами, лежащими внутри сферы Напряженность этого поля может существенно зависеть от строения диэлектрика, — в частности, от взаимного расположения его диполей, — и поэтому, строго говоря, никакой универсальной зависимости от не существует. Однако при некоторых простейших предположениях о строении диэлектрика, как мы сейчас покажем, поле оказывается равным нулю.

3. Введем декартову систему координат с центром в О. Согласно (10.4), слагающая поля, возбуждаемого в точке О отдельным диполем, обладающим координатами х, у, 2, равна

Стало быть, слагающая по оси х поля будет равна

где суммирование должно распространяться на все диполи, находящиеся внутри физически бесконечно малой сферы (за исключением диполя, находящегося в ее центре).

Допустим, что диполи диэлектрика расположены по узлам кубической пространственной решетки. В этом случае моменты всех диполей внутри физически бесконечно малой сферы будут одинаковы по величине и направлению, и в формуле (28.5) можно вынести за знак суммы. Приведем оси координат х, у, z в совпадение с главными осями кристалла. Если координаты какого-либо из диполей, лежащего внутри 5, равны с, то внутри найдется также диполь с координатами Отсюда следует, что Кроме того, внутри найдется также и диполь с координатами откуда следует, что Таким образом, в этом случае, действительно,

Тот же результат получится и в случае совершенно беспорядочного расположения молекул диэлектрика (газообразный диэлектрик). Действительно, если все положения любой выделенной молекулы внутри сферы равновероятны и не зависят от положения других молекул, то среднее значение поля любой молекулы в центре сферы О равно нулю. Нужно, однако, иметь в виду, что предположение об отсутствии всякой корреляции между положениями различных молекул равносильно пренебрежению: 1) конечными размерами молекул и 2) дипольным взаимодействием молекул друг с другом. 4. При формула (28.4) принимает вид

Внося это в (28.2), получим

откуда

и, следовательно,

Таким образом, тот факт, что «действующее» поле отлично от среднего поля сказывается лишь на числовом значении коэффициента поляризуемости диэлектрика. В частности, соотношение между диэлектрической проницаемостью и постоянной ско получится из (22.5):

откуда

Эта формула и формула (28.6) называются формулами Лоренц-Лорентца. Внося в (28.8) значение из (28.2), получаем

При (т. е. при близком к единице) а может быть принято равным а равным и мы возвращаемся к прежним формулам, которые, таким образом, оказываются вполне справедливыми для слабо поляризующихся диэлектриков. Это и понятно, ибо в слабо поляризующихся диэлектриках влияние диполей друг на друга существенной роли не играет. Между тем отличие от обусловливается, в сущности, именно взаимодействием диполей диэлектрика, учитываемым вторым членом формулы (28.6). Если сравнительно мало (например в газах), то а может быть принято равным

5. Следствия, вытекающие из формулы Лоренц-Лорентца, будут рассмотрены в § 29, пока же мы отметим еще раз, что ее вывод основан на ряде допущений и пренебрежений. В частности, при замене поля отдельной молекулы или атома диэлектрика полем эквивалентного диполя [формула (28.5)] вовсе не было учтено, что эта замена законна лишь на расстояниях, значительно превышающих размеры атома (см. § 20), тогда как в твердых и жидких диэлектриках расстояния между смежными атомами сравнимы с размерами этих атомов.

Таким образом, из предыдущего, в сущности, с несомненностью вытекает только необходимость учитывать различие между средним макроскопический полем и средним эффективным полем Что же касается формулы Лоренц-Лорентца, то, хотя справедливость ее строго доказана лишь при весьма специальных предположениях, все же она, как мы увидим в § 29, хорошо оправдывается на опыте в применении к жидким диэлектрикам

с квазиупругими диполями [в газообразных средах настолько близко к 1, что (28.8) практически не отличимо от (22.5) с ].

О неприменимости формулы Лоренц-Лорентца к диэлектрикам с твердыми диполями см. следующий параграф.