§ 45. Лоренцева сила

1. Элемент объема проводника, по которому протекает ток плотности испытывает в магнитном поле пондеромоторную силу равную [см. уравнение (44.4)]:

Сила эта отлична от нуля лишь в том случае, если т. е. если в проводнике происходит движение электрических зарядов. С точки зрения электронной теории, все пондеромоторные силы, испытываемые в электромагнитном поле какими бы то ни было телами, должны в конечном счете сводиться к силам, приложенным к электрическим зарядам, входящим в состав этих тел. Соответственно этому и в рассматриваемом случае мы должны попытаться свести силу испытываемую несущим ток проводником, к силам, испытываемым движущимися в нем зарядами.

С этой целью выразим плотность тока через число находящихся в единице объема «свободных» электронов (т. е. электронов, движением своим создающих ток) и через среднюю скорость этих электронов и, согласно уравнению (40.1),

Направление тока условно считается совпадающим с тем направлением, по которому двигались бы положительные заряды, если бы этот ток создавался их движением. Стало быть, вектор направлен противоположно средней скорости и движения отрицательных электронов, так что если под понимать алгебраическую величину заряда (для электронов то можно написать

Внося это в уравнение (44.4), получим

Такова результирующая сила, действующая на свободных электронов, заключенных в элементе объема проводника и обладающих средней скоростью и. Естественно предположить, что на каждый из этих электронов действует сила

где есть истинная скорость электрона. Если тока нет, то электроны движутся беспорядочно, и равнодействующая приложенных к ним сил равна нулю. Если же ток отличен от нуля, то равнодействующая (45.2) этих сил сообщает электронам соответствующее приращение количества движения, которое при

столкновении электронов с атомами (или ионами) проводника передается этому проводнику и вызывает его движение в магнитном поле (или стремится вызвать, если проводник закреплен). С точки зрения макроскопической теории, не вдающейся в рассмотрение внутреннего механизма явлений, это значит, что на проводник действует пондеромоторная сила (44.4).

2. Результаты изучения движения свободных электронов (в точном смысле этого слова, например, электронов, образующих катодные лучи) подтверждают правильность формулы (45.3), которая оказывается применимой к (точечным) электрическим зарядам, движущимся со скоростью в произвольном (постоянном или переменном) магнитном поле Если мы учтем еще силу испытываемую (точечным) зарядом в электрическом поле то общая сила, испытываемая зарядом в произвольном электромагнитном поле, выразится формулой

Эта формула была впервые дана Лоренцем, и поэтому силу называют лоренцевой силой.

Допустив справедливость формулы (45.4), мы можем, очевидно, лишь в том случае сохранить данное в § 2 определение напряженности электрического поля согласно которому равно силе, испытываемой помещенным в это поле единичным положительным пробным зарядом, если мы присовокупим к этому определению оговорку, что пробный заряд должен быть неподвижным в этом случае формула (45.4) совпадает с формулой (2.2).

3. Весьма существенно, что сила, испытываемая движущимся зарядом в магнитном поле, перпендикулярна как к направлению его движения так и к направлению поля Таким образом, сила эта лишь искривляет путь заряда, не изменяя числового значения его скорости, т. е. не совершая никакой механической работы. Это обстоятельство может показаться противоречащим тому факту, что работа, совершаемая при движении несущего ток проводника в магнитном поле, вообще говоря, отлична от нуля (электромотор!). Кажущееся противоречие это разрешится, если принять во внимание, что движение проводника в магнитном поле неизбежно сопровождается явлениями электромагнитной индукции. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в § 76.

4. Заметим в заключение, что искривление пути электрических зарядов под действием силы (45.3) должно сказываться в перераспределении тока по сечению проводника при внесении этого проводника в магнитное поле. Это перераспределение тока, действительно, проявляется в так называемых гальваномагнитных, термомагнитных и родственных им явлениях. Мы

рассмотрим в виде примера только одно из этих явлений, так называемое явление Холла.

Пусть по однородной металлической пластинке или ленте шириной а протекает электрический ток плотности в направлении оси у (рис. 46).

Если поместить пластинку в однородное магнитное поле направленное по оси z, то электрические заряды, движением которых обусловливается ток, будут, согласно уравнению (45.2), испытывать добавочную силу

где средняя скорость носителей тока. Эта добавочная сила будет отклонять ток по направлению оси струя электронов будет «бить» в передний край пластинки и вызывать там накопление отрицательных электрических зарядов. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока результирующая сила поля накопившихся у правого края отрицательных зарядов и поля избытка положительных зарядов, собравшихся у левого края, не уравновесит силы Обозначая это уравновешивающее поле через получаем

Рис. 46

Из рассмотрения рис. 46 следует, что должно быть направлено по оси стало быть, разность потенциалов между точками лежащими на одном перпендикуляре к оси ленты, будет равна

или, выражая среднюю скорость электронов и через плотность тока с помощью уравнения (45.1),

где коэффициент

носит название коэффициента Холла.

Поперечная разность потенциалов возникающая в несущем ток проводнике при включении магнитного поля, может быть непосредственно измерена на опыте. Она оказывается, действительно, пропорциональной величинам как того требует формула (45.5). Числовое значение этой разности потенциалов весьма мало. Так, например, при пропускании тока в 10 А через золотую ленту шириной 1 см и толщиной в магнитном

поле напряженности эта разность потенциалов оказывается равной всего лишь Наиболее замечательно, однако, что знак коэффициента Холла который, согласно уравнению (45.6), должен быть отрицательным, ибо носителями тока в металлах являются отрицательные электроны в действительности оказывается различным для различных металлов. Так, для для Таким образом, дело обстоит так, как если бы носителями тока во второй из этих групп металлов были не отрицательные, а положительные заряды. Это заключение противоречит, однако, всей совокупности наших сведений о природе металлов и долгое время являлось одной из главнейших трудностей, противостоявших электронной теории металлов. Противоречие это вполне удовлетворительно разрешается квантовой теорией металлов.

Пример. Движение электронов в постоянном магнитном поле Уравнение движения электрона в магнитном поле, согласно (45.3), гласит:

Так как проекция силы на направление вектора неизменно равна нулю, то слагающая скорости электрона по этому направлению будет постоянна. Так как, с другой стороны, абсолютная величина всей скорости тоже постоянна (ибо ускорение перпендикулярно скорости), то должна быть постоянной и перпендикулярная к вектору слагающая скорости Наконец, постоянной должна быть и абсолютная величина силы ибо

Таким образом, движение электрона может быть разложено на два составляющих движения: равномерное движение по направлению поля со скоростью и движение в плоскости, перпендикулярной совершающееся с постоянным по величине ускорением

направленным перпендикулярно его скорости Но, как известно, движение с постоянным нормальным ускорением а представляет собой равномерное движение по кругу, радиус которого может быть определен из соотношения

следовательно,

Совокупность равномерного поступательного движения со скоростью и равномерного кругового движения со скоростью

в плоскости, перпендикулярной представляет собой движение с постоянной по абсолютной величине скоростью по винтовой линии, навитой на прямой круговой цилиндр радиуса ось которого параллельна Угол между осью цилиндра и касательной к винтовой траектории электрона, конечно, постоянен и определяется начальными условиями движения. В частности, если начальная скорость электрона направлена перпендикулярно то винтовая траектория электрона вырождается в окружность, плоскость которой перпендикулярна

Итак, в постоянном однородном магнитном поле электрон описывает, вообще говоря, винтовую линию, ось которой совпадает с направлением поля. Заметим, что формула (45.7) дает возможность путем измерения определить отношение заряда электрона к его массе. Возможность эта широко используется в экспериментальной физике для определения отношения как для электронов, так и для других заряженных частиц (-лучи, каналовые лучи и т. д.).