§ 102. Распространение волн в проводящей среде. Отражение света от металлической поверхности

1. В диэлектриках электромагнитные волны распространяются без затухания, в хороших же проводниках — металлах — электромагнитные волны затухают настолько быстро, что даже тонкие слои металлов оказываются непрозрачными для волн. Объясняется это, конечно, тем, что энергия волны переходит по мере ее распространения в джоулево тепло, выделяемое возбуждаемыми полем волны токами проводимости.

Покажем, прежде всего, что распространение волн в однородном проводнике не связано с возникновением в нем свободных электрических зарядов. Внося в уравнение непрерывности выражение (V) для плотности тока и предполагая, что сторонние электродвижущие силы в проводнике отсутствуют, получаем

Решение этого дифференциального уравнения есть

где произвольная постоянная.

Следовательно, если даже каким-либо образом внести в проводник свободные объемные заряды, то плотность этих зарядов спадет с течением времени по экспоненциальному закону до нуля; чем больше электропроводность тем быстрее произойдет это рассасывание зарядов. Электромагнитное поле вообще не может создать в проводнике объемных свободных зарядов, ибо если в момент то, согласно (102.1), оно останется равным нулю и во все последующее время.

2. Рассмотрим монохроматическую волну частоты в металле, т. е. положим

Внося эти выражения в уравнения Максвелла воспользовавшись уравнениями (V) и полагая, согласно (102.1), получаем после сокращения на

Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений в диэлектриках только тем, что в первом из них множитель заменяется множителем Иными словами, эти уравнения совпадут с уравнениями волны в диэлектрике, если в последних заменить на

Таким образом, в отношении распространения монохроматических волн проводник эквивалентен диэлектрику с комплексной диэлектрической проницаемостью Поэтому при рассмотрении волн в металле мы можем непосредственно воспользоваться результатами, полученными в § 100 и 101 для волн в диэлектриках, произведя в формулах этих параграфов замену на

Так, например, волновое (комплексное) число к определится в соответствии с (100.4) формулой

Целесообразно разложить к на действительную и мнимую части:

Мы условимся брать для положительные корни этих уравнений. В соответствии с (102.4) и (100.5) поле плоской монохроматической волны в проводнике, распространяющейся вдоль оси z, выражается формулами

Таким образом, комплексность волнового числа к соответствует наличию поглощения: амплитуда волны экспоненциально спадает по мере ее распространения. При мнимая часть волнового числа к обращается в нуль, и затухание волн прекращается.

В соответствии с (100.9) векторы волны в проводнике взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему; однако векторы обладают в проводнике различными фазами, а не одинаковыми, как в диэлектрике. Действительно, заменив в формуле на получим

Так как множитель комплексен, то фаза вектора отлична от фазы Подробнее об этом см. в § 103.

3. В § 90, посвященном скин-эффекту, мы тоже изучали периодическое поле в проводнике с тем единственным отличием от нашего теперешнего рассмотрения, что в § 90 мы пренебрегали токами смещения в проводнике по сравнению с токами проводимости. Так как, согласно § 88, токи смещения в металлах малы по сравнению с токами проводимости вплоть до частот, соответствующих инфракрасной части спектра

то результаты настоящего параграфа должны при меньших частотах лишь незначительно отличаться от результатов § 90.

Действительно, разрешая уравнения (102.4) относительно получаем

Как указывалось в § 88, в металлах т. е. вплоть до поэтому даже в случае световых волн можно в (102.6) пренебречь единицей по сравнению с Таким образом, с достаточной степенью точности

что совпадает с выражением (90.5) для . Таким образом, (102.5) практически совпадает с ранее найденным выражением (90.6) для электрического вектора волны в металле.

Как отмечалось в § 90, глубина проникновения волны в металл определяется величиной

ибо амплитуда волны спадает на этой глубине в раз по сравнению с амплитудой на поверхности. Так как, согласно (100.7), длина волны, которую мы на этот раз для отличия от проводимости А обозначим через I, равна и так как то

Таким образом, на отрезке 5 откладывается только 1/6 часть длины волны, т. е. никакой пространственной периодичности поля волны в металле нет. В качестве иллюстрации приведем следующую табличку глубины проникновения в медь полей различной частоты в этой табличке означает длину соответствующей волны в вакууме:

4. Явления отражения света от металлической поверхности гораздо сложнее, чем отражение на границе диэлектриков; так, например, линейно поляризованная волна при отражении от металла становится эллиптически поляризованной (если угол падения не равен 90°). Мы ограничимся рассмотрением простейшего

случая нормального падения плоской монохроматической волны из вакуума на поверхность металла.

При решении этой задачи мы можем воспользоваться результатами § 101. Полагая, как и в § 101, что проницаемость среды равна единице и, кроме того, что металл граничит с вакуумом, мы должны будем в формулах § 101 заменить на 1, а на В частности, показатель преломления металла относительно вакуума, согласно (101.9), окажется равным

т. е. будет иметь комплексное значение. Амплитуды электрического вектора отраженной и преломленной волн при нормальном падении волны на металл определяется формулой (101.10):

Полагая в формулах § 101 и получим

Действительная часть этих комплексных выражений равна

где углы должны быть определены из соотношений

причем, например, означает модуль комплексной величины Таким образом, ввиду комплексности фазы отраженной и преломленной волн не будут, как это имеет место в диэлектриках, совпадать на границе раздела с фазой падающей волны, а будут сдвинуты относительно нее соответственно на углы

В соответствии с (101.11) и (101.13) средние за период плотности потока энергии в падающей и отраженной волне и коэффициент отражения будут равны

Так как А для металлов порядка то вплоть до частот видимого света; стало быть, согласно (102.2) и (102.9), модуль также гораздо больше единицы.

Поэтому коэффициент отражения металлических поверхностей близок к единице. Так, например, даже для желтой линии натрия равно 0,95 для и т. д.