§ 7. Оператор набла. Вторые производные. Производные от произведений

1. Выше мы познакомились с рядом дифференциальных операций над векторами и скалярами: образование градиента скаляра (6, дивергенции вектора (18, ротора вектора (29 и т. д. При применении векторного анализа приходится встречаться еще с целым рядом других дифференциальных выражений.

Оперирование этими выражениями может быть упрощено и уложено в простую и стройную схему введением в рассмотрение символического дифференциального оператора Гамильтона. Оператор этот обозначается знаком V (читай: в декартовой системе координат он имеет вид

где — единичные векторы по осям х, у, z. Иными словами, V есть векторный оператор, слагающие которого по осям

координат равны

Этот векторный оператор соответствует в векторном анализе знаку производной обычного анализа. Подобно тому как в обычном анализе дифференциал функции можно считать произведением оператора дифференцирования на дифференцируемую функцию, так путем помножения скаляров и векторов, являющихся функциями точки, на оператор V мы получаем пространственные производные этих величин.

Так, например, произведение V на скаляр нужно, очевидно, положить равным

Стало быть, согласно (6,

Таким образом, действительно может быть названа пространственной производной от ибо вектор вполне характеризует изменения, испытываемые скаляром при перемещении «точки наблюдения» (т. е. при изменении координат х, у, z). Подобно этому, и другие выражения, включающие в себя оператор V, тоже характеризуют собой те или иные соотношения между значениями скалярных и векторных функций в смежных точках пространства.

С известными ограничениями, о которых будет сказано ниже, можно образовывать произведения V с другими векторами и скалярами так, как если бы V был истинным, а не символическим вектором. Как и при пользовании знаком дифференциала, при этом предполагается, что оператор V «действует» лишь на те величины, которые стоят вправо от него.

Так, например, скалярное произведение символического вектора V на произвольный вектор а равно

т. е., согласно (15,

Помимо скалярного произведения символического вектора V на вектор а, можно образовать и векторное произведение этих векторов, которое, как легко видеть, представляет собой ротор вектора а (см. сноску на с. 591):

Так, например, слагающая вектора по оси х равна

2. Применение оператора V весьма упрощает нахождение вторых и старших производных от скалярных и векторных величин. Так, например, квадрат вектора V равен

Поэтому, раскрывая смысл произведения по правилам векторной алгебры:

получим

В справедливости этого равенства можно убедиться непосредственным вычислением с помощью формул (5 и (15:

Совершенно иной смысл имеет выражение

Оно вовсе не равно подобно тому как при оперировании с обычными векторами

Выражение же имеет, очевидно, следующий смысл:

т. е. представляет собой вектор, слагающая которого, например по оси х равна

Конечно, нельзя смешивать с так, например,

Известные формулы векторной алгебры

остаются справедливыми и при замене вектора символическим вектором V (при любых

В справедливости этих соотношений легко убедиться непосредственным вычислением в декартовых координатах. Так, например,

3. Итак, поскольку оператор V входит сомножителем в произведения, содержащие в себе лишь один единственный истинный скаляр или вектор, постольку произведения эти можно преобразовать по обычным правилам векторной алгебры. Однако, если в произведение входят два или несколько истинных скаляров или векторов, то правила эти становятся неприменимыми и нуждаются в видоизменениях. Совершенно то же имеет место и в обычном анализе при символическом умножении алгебраических величин на знак дифференциала подобно тому как

так и в случае умножения произведения скаляров или векторов на V операция дифференцирования должна быть выполнена над каждым из сомножителей в отдельности. Так, например, при дифференцировании произведения двух скаляров или скаляра

и вектора получаем

В справедливости этих соотношений можно убедиться непосредственным вычислением. Так, например,

Несколько сложнее обстоит дело при скалярном дифференцировании произведения двух векторов. Обратимся, прежде всего, к выражению

Для обычных векторов справедливы соотношения

При замене вектора дифференциальным оператором V можно предположить, что должно быть приравнено к сумме выражений

ибо в обычном анализе производная от произведения равна сумме двух членов, в каждом из которых дифференцированию подвергается лишь один из сомножителей. Действительно, непосредственным вычислением, которое мы предоставляем провести читателю, можно убедиться, что

т. е. что

Как известно, при вычислении произведения с трех векторов необходимо выполнить скалярное перемножение векторов прежде помножения их на с. Соответственно этому и выражение

не может быть представлено в виде суммы двух членов, в каждом из которых дифференцируется лишь один из сомножителей. Можно показать далее, что такого рода преобразование невыполнимо также и по отношению к выражению

Оба эти выражения могут быть, однако, представлены в виде суммы четырех членов, в каждом из которых дифференцированию подвергается лишь один из векторов

Отсылая за доказательством к курсам векторного анализа, приведем соответствующие формулы 1):

В частном случае, когда где радиус-вектор, формула (45, как нетрудно показать, сводится к формуле (11:

Если, далее, положить в ( то получим

4. Нам остается еще рассмотреть скалярный оператор получаемый скалярным помножением произвольного вектора а на оператор Гамильтона V, стоящий справа от а (в отличие от

В частном случае, при операция эквивалентна, очевидно, нахождению производной — по направлению единичного вектора а. Вообще же говоря, выполнение операции над произвольной функцией точки эквивалентно умножению производной от этой функции, взятой по направлению вектора а, на числовое значение вектора а; иными словами,

Действительно, выполняя операцию над произвольным скаляром получим скаляр

или на основании в согласии с (49).

Выполняя же операцию над произвольным вектором получим вектор:

слагающая которого, например, по оси х равна

С другой стороны, производная вектора по направлению а, согласно (34, равна

Умножая это равенство на а и сравнивая результат с (50а, убедимся в том, что действительно

что и требовалось доказать. Таким образом, если вектор а достаточно мал, то с точностью до величин второго порядка малости равны соответственно приращению скаляра и вектора при перемещении «точки наблюдения» на отрезок, равный по величине и направлению вектору а.

5. Элементарные операции пространственного дифференцирования сводятся к образованию градиента, дивергенции, ротора и производной Все эти операции, как мы видели, имеют определенный геометрический смысл и потому инвариантны по отношению к преобразованию системы координат. Иными словами, значение выражений

не зависит от выбора системы координат. Все соотношения между дифференциальными выражениями, выведенные нами выше, тоже носят инвариантный характер, ибо, хотя при доказательстве их мы всякий раз и пользовались определенной (декартовой) системой координат, однако в самые соотношения входят лишь инвариантные выражения Стало быть, форма этих соотношений не может изменяться при переходе к иным системам координат.