§ 25. Микро- и макроскопические значения физических величин

1. Этот и последующие параграфы, вплоть до § 29, мы посвятим более строгому выводу уравнений макроскопического поля в диэлектриках из микроскопических уравнений поля, а также выяснению зависимости диэлектрической постоянной среды от атомистического строения этой среды, ее температуры и т. д.

До сих пор мы не обращали достаточного внимания на то обстоятельство, что поле каждой молекулы диэлектрика в непосредственной близости от нее должно чрезвычайно быстро изменяться от точки к точке (например при переходе от положительных к отрицательным зарядам молекулы). Правда, эти изменения поля протекают в микроскопическом масштабе и недоступны нашему макроскопическому наблюдению. Измеряя, например, поле в жидком диэлектрике путем погружения в него пробного заряда, например, достаточно малого заряженного металлического шарика, мы, очевидно, измеряем среднее из тех значений, которые имеет напряженность поля на поверхности этого шарика.

2. Чтобы уточнить понятие среднего значения, мы введем следующую терминологию, предложенную Лоренцем. Мы будем называть физически бесконечно малыми в отличие от математически бесконечно малых такие элементы объемов, поверхностей и линий, которые одновременно удовлетворяют следующим двум требованиям:

а) физически бесконечно малые элементы должны быть чрезвычайно велики по сравнению с расстояниями между молекулами среды, а стало быть, и по сравнению с микроскопическими неоднородностями среды и поля;

б) вместе с тем физически бесконечно малые элементы должны быть чрезвычайно малы по сравнению с макроскопическими неоднородностями поля и среды; другими словами, средние значения физических величин (например ) в любом из этих элементов должны бесконечно мало отличаться от средних значений этих величин в смежных с ними элементах 1).

Даже в газообразных, не говоря уже о жидких и твердых, телах расстояния между молекулами столь малы по сравнению с макроскопическими неоднородностями изучаемых обычно полей, что почти всегда оказывается возможным одновременно удовлетворять обоим этим условиям. Конечно, возможны и такие случаи, когда приведенные условия взаимно исключают друг друга; так, например, длина волны жестких рентгеновских лучей, могущая служить мерой неоднородности поля этих лучей, меньше расстояния между молекулами материальных тел.

3. Оставляя в стороне подобные исключительные случаи, мы будем в дальнейшем под макроскопическими величинами понимать средние значения физических величин в физически бесконечно малом объеме. Другими словами, под макроскопическим значением произвольной физической (скалярной или векторной) величины (например в данной точке пространства мы будем понимать среднее из истинных или микроскопических значений этой величины в физически бесконечно малом объеме У, окружающем точку Р:

Заметим, что, лишь введя это определение, мы придаем четкий смысл всем нашим предшествующим рассуждениям. В частности, ведь и внутри проводников атомистическое строение электричества проявляется в чрезвычайно быстрых колебаниях микроскопических значений физических величин в смежных точках пространства; так, например, микроскопическая плотность электричества отлична от нуля лишь внутри электронов и атомных ядер. Таким образом, говоря о плотности заряда в поверхностном слое проводников, о постоянстве потенциала внутри них и т. д., мы, в сущности, говорим о средних значениях этих величин, определяемых уравнениями типа (25.1).

4. В последующем нам неоднократно придется находить уравнения для макроскопических величин, исходя из дифференциальных уравнений для микроскопических величин. При этом нам придется пользоваться следующим положением: среднее значение производной по координате (а также и по времени) от произвольной величины равно производной от среднего значения этой величины:

где черта сверху обозначает образование среднего.

Мы докажем эту теорему в предположении, что величина скалярная. Применяя затем эту теорему к отдельным слагающим произвольного вектора, мы сможем убедиться, что она остается справедливой и для

векторных величин. Наконец, соответствующая теорема справедлива и для производных по времени, в чем можно убедиться простым дифференцированием формулы (25.1).

Согласно (25.1) среднее значение в точке равно

где для определенности мы будем считать, что интеграл распространен по объему V физически бесконечно малой сферы поверхности с центром в Подобно этому,

где V — объем равновеликой сферы поверхности с центром в точке (на рис. 31 изображено сечение этих сфер центральной плоскостью). Поэтому

Рис. 31

Но где и V - суть, соответственно, объемы переднего и заднего слоев, заключенных между поверхностями Далее, прилегающий к элементу сферы элемент объема равен

внешняя нормаль к сфере соответственно,

Следовательно,

где последний интеграл распространяется по всей поверхности сферы Таким образом, окончательно получаем

С другой стороны,

где единичный вектор по оси х. Ввиду постоянства этого вектора откуда на основании теоремы Гаусса (17

что совпадает с выражением для Таким образом, уравнение (25.2) доказано.