§ 24. Непосредственный подсчет поля при наличии диэлектрика (в простейших случаях)

1. Чтобы пояснить влияние поляризации диэлектрика на напряженность поля, мы проведем непосредственное вычисление поля в двух простейших случаях. При этом для простоты мы будем предполагать, что все заряды в диэлектрике закреплены одинаково прочно и имеют одинаковую абсолютную величину Число зарядов каждого знака в единице объема диэлектрика обозначим через

2. Рассмотрим элементарный вывод обобщенного закона Кулона для однородного диэлектрика. Пусть все поле заполнено однородным диэлектриком и «свободный» положительный заряд находится в однородном диэлектрике в точке требуется определить поле этого заряда в некоторой точке на расстоянии от него. Под воздействием поля отрицательные заряды диэлектрика сместятся к центру О, а положительные удалятся от него. Благодаря шаровой симметрии поля все пространство может быть разбито на концентрические шаровые слои с центром в О, в каждом из которых плотность расположения зарядов постоянна. Поле всех заряженных шаровых слоев, внешних по отношению к точке равно в этой точке нулю, поле же всех внутренних слоев в точке таково, как если бы весь заряд этих слоев был сосредоточен в центре О [см. уравнение (4.6)]. Каков же общий заряд этих внутренних слоев, т. е. заряд, находящийся внутри сферы проходящей через точку

Так как, по предположению, все заряды в диэлектрике одинаковы и связаны в нем одинаково прочно, то при возникновении поляризации все положительные заряды, находившиеся на расстоянии от центра О, должны были сместиться наружу на некоторое расстояние а все отрицательные — внутрь на то же расстояние; конечно, это смещение уменьшается при удалении от О. Через поверхность сферы радиуса при возникновении поляризации должны были пройти наружу все положительные заряды, находившиеся в слое толщины прилегающем к сфере изнутри. Число этих зарядов по условию равно

Такое же число отрицательных зарядов войдет, очевидно, снаружи внутрь сферы Таким образом, общий

отрицательный заряд появляющийся внутри сферы благодаря поляризации диэлектрика, будет равен

Напряженность поля этих зарядов в точке как указывалось, будет такова, как если бы все эти заряды были сосредоточены в центре симметрии О. Стало быть, общая напряженность поля в точке будет равна

С другой стороны, электрический момент единицы объема диэлектрика до поляризации был равен нулю, а после поляризации стал равным

Таким образом, числовое значение вектора равно

и, стало быть,

Таким образом,

что и требовалось доказать.

3. Определим поле равномерно поляризованного шара. Пусть поляризация постоянна по величине и направлению во всех точках шара радиуса а. При положительные и отрицательные заряды диэлектрика одинаково распределены по объему шара и поля их взаимно компенсируются. При возникновении же поляризации положительные заряды сдвигаются на некоторый отрезок 1, а отрицательные на отрезок —1. Таким образом, после сдвига отрицательные заряды диэлектрика будут заполнять собой шар радиуса а, центр которого смещен на отрезок 21 относительно центра шара того же радиуса, заполненного положительными зарядами (рис. 30). Следовательно, поле равномерно поляризованного шара должно быть тождественно с полем двух сдвинутых друг относительно друга на отрезок шаров радиуса а, равномерно заряженных разноименным электричеством. Так как, по предположению, на единицу объема диэлектрика приходится по зарядов каждого знака, то общий заряд

Рис. 30

каждого шара по абсолютной величине будет равен где есть объем шара.

Внешнее поле равномерно заряженного шара таково, как если бы весь заряд шара был сосредоточен в его центре [уравнение (4.7)]. Стало быть, внешнее поле поляризованного шара таково, как если бы два точечных заряда находились на расстоянии друг от друга, т. е. тождественно с полем диполя момента Таким образом, потенциал равномерно поляризованного шара объема V вне этого шара, согласно (8.10), будет равен

где радиус-вектор из центра шара в исследуемую точку поля.

С другой стороны, электрический момент единицы объема шара до поляризации был равен нулю, после же поляризации он станет равным Следовательно, окончательно имеем

Аналогичной же формулой определяется и потенциал внутренних точек шара если только в этом случае понимать под V объем не всего шара, а лишь той его части, которая ближе к центру, чем рассматриваемая точка поля, т. е. если в (24.1) положить

Действительно, потенциал поля заряженного шара, образованного положительными зарядами диэлектрика, внутри этого шара равен [уравнение

где есть плотность положительных зарядов в диэлектрике, потенциал же шара, образованного отрицательными зарядами диэлектрика, равен

причем суть расстояния точки поля от центра соответственных шаров Поэтому результирующий потенциал всех зарядов диэлектрика при а равен

Так как то потенциал поля внутри поляризованного шара равен

что и требовалось доказать

Очевидно, что при а выражения для принимают одинаковые значения, т. е. что потенциал поляризованного шара является непрерывной функцией точки.

Наконец, напряженность поля поляризованного шара внутри этого шара будет равна

Так как вектор постоянен по величине и направлению, то и поэтому окончательно:

Таким образом, напряженность поля равномерно поляризованного шара постоянна по величине и направлению во всех его внутренних точках.

Конечно, рассмотренную нами задачу можно было бы решить, исходя непосредственно из общих уравнений поля в диэлектрических средах. Этот способ решения, а также рассмотрение вопроса о том, как можно поддерживать равномерную поляризацию в диэлектрическом шаре, мы предлагаем уяснить читателю на следующем примере.

Пример. Шар радиуса а из однородного диэлектрика помещается в однородное внешнее поле направленное по оси z. Исходя из дифференциальных уравнений поля, доказывается, что шар будет поляризован равномерно, причем поляризация его будет равна

а потенциал поля будет равен сумме потенциала внешнего поля

и потенциала поляризованного шара, определяемого уравнениями (24.1) и (24.2):

Чтобы доказать справедливость формул (24.5), достаточно показать, во-первых, что удовлетворяют уравнению Пуассона: во-вторых, что на поверхности диэлектрика, т. е. при потенциал непрерывен:

и непрерывна нормальная слагающая электрической индукции:

Предоставляем это сделать читателю (при выполнении дифференцирования по удобно выразить z через Из (24.5) следует, что внутри шара

Внося это значение в (22.6), получаем (24.4).