§ 92. Теорема Пойнтинга. Поток энергии

1. Выразив энергию электромагнитного поля в форме объемного интеграла мы тем самым, как уже неоднократно упоминалось, получаем возможность истолковать это выражение в том смысле, что энергия поля вполне определенным образом локализована в пространстве, причем объемная плотность энергии в произвольном месте поля определяется выражением

В § 109 мы покажем, что такое истолкование является не только возможным, но и необходимым; пока же мы примем это

утверждение на веру и рассмотрим изменение во времени количества энергии находящегося внутри объема V, ограниченного некоторой неподвижной поверхностью

Ввиду предполагаемой независимости от времени

Внося сюда значения и из (I) и (II), получаем с помощью уравнения (44):

Внося это в выражение для и воспользовавшись теоремой Гаусса (17), получаем окончательно:

В том случае, если поверхность заключает в себе полное поле, поверхностный интеграл обращается в нуль, и (92.1) принимает вид

Это уравнение означает, что при предполагаемой неподвижности всех находящихся в поле материальных тел энергия поля расходуется только на работу, совершаемую электрическим полем над токами проводимости и определяемую правой частью уравнения (92.2). Исключив из этого выражения вектор с помощью уравнения (V) получаем

где

Величина равна, очевидно, работе, совершаемой сторонними электродвижущими силами в единицу времени, над токами проводимости со вторым членом формулы (39.1), выражающим работу сторонних ЭДС в линейном проводнике], тогда как совпадает с выражением для джоулева тепла, выделяемого токами проводимости в единицу времени [ибо, согласно (39.5), джоулево тепло, выделяемое в единице объема проводника в единицу времени, равно

Таким образом, уравнение (92.3) выражает собой закон сохранения энергии: общее приращение электромагнитной энергии (при предполагаемой неподвижности материальных тел) равно избытку работы сторонних электродвижущих сил (химического, термического и тому подобного происхождения) над выделением джоулева тепла [согласно исходному предположению все тела неподвижны, так что механическая работа равна нулю]. Вместе с тем мы убеждаемся, что в отличие от токов проводимости токи смещения никакого тепла не выделяют и сторонние электродвижущие силы при их прохождении работы не совершают, ибо в выражения для входит только плотность токов проводимости, но не токов смещения Вычислив с помощью максвелловых уравнений для какого-либо процесса изменение электромагнитной энергии и работу сторонних электродвижущих сил, мы на основании формулы (92.3) можем определить выделяемое при этом процессе джоулево тепло Эта величина доступна непосредственному измерению, что дает возможность проверить правильность теории.

2. Рассмотрим теперь тот случай, когда поверхностный интеграл в формуле (92.1) не исчезает, т. е. когда поверхность не обнимает собой полного поля.

Введем обозначение

и воспользуемся обозначениями (92.4). Тогда уравнение (92.1) примет вид

причем в данном случае величины будут, очевидно, относиться не к полному полю, как раньше, а лишь к той его

области V, которая ограничена поверхностью В этом случае, как явствует из уравнения (92.6), изменение электромагнитной энергии в объеме V зависит не только от выделяемой в этом объеме теплоты и от работы сторонних электродвижущих сил в этом объеме, но и от расположения граничной поверхности и от значения вектора на ней.

Исходя из представления о локализации электромагнитной энергии в пространстве, мы должны на основании этого обстоятельства заключить, что электромагнитная энергия вытекает через поверхность из рассматриваемого объема V наружу и притом в количестве единиц энергии (эргов) в секунду. Это положение носит название теоремы Пойнтинга, а вектор называется вектором Пойнтинга.

Детализируя далее это положение, относящееся к замкнутым поверхностям, можно истолковать его в том смысле, что в каждой точке поля поток электромагнитной энергии (т. е. количество энергии, протекающее в единицу времени через перпендикулярную к направлению потока единицу поверхности) равен по величине и направлению вектору Пойнтинга Это последнее предположение вовсе не обязательно, ибо, как показывает внимательный анализ возможных физических экспериментов, непосредственная проверка на опыте возможна лишь в отношении теоремы Пойнтинга в ее интегральной форме, применимой к замкнутым поверхностям.

Однако мы все же будем отождествлять вектор Пойнтинга с потоком энергии в данной точке поля, во-первых, потому, что эта интерпретация вектора Пойнтинга приводит к ряду весьма простых и наглядных соотношений, и, во-вторых, потому, что она непосредственно вытекает из релятивистской теории электромагнитного поля.

Отметим, что формулировка закона сохранения энергии с помощью понятия потока энергии [уравнение типа (92.6)] была впервые дана в общей форме Н.А. Умовым еще в 1874 г.

3. В поле постоянных токов напряженность электромагнитного поля, а стало быть, и его энергия остаются постоянными, так что работа сторонних электродвижущих сил полностью переходит в тепло [уравнение (39.7)].

Однако работа эта совершается лишь в тех участках цепи, где Естр отлично от нуля, тогда как джоулево тепло выделяется во всех участках цепи. Нетрудно убедиться, что энергия, затрачиваемая источниками сторонних электродвижущих сил, совершает при этом свой путь до места потребления (т. е. выделения в форме тепла) в качестве энергии электромагнитной.

Рассмотрим с этой целью участок цилиндрического однородного провода длины ограниченный двумя сечениями, перпендикулярными к его оси (рис. 79). Пусть есть радиус провода, его сечение, объем рассматриваемого участка, наконец сила тока в проводе. Предположим, что магнитное поле вблизи провода с достаточной точностью совпадает с полем бесконечного прямолинейного тока той же силы. Тогда на поверхности провода (см. с. 220, задача 30)

причем магнитные силовые линии представляют собой концентрические току окружности.

Рис. 79

Предположим сначала, что в рассматриваемом участке провода Естр Электрический вектор направлен в этом случае по направлению тока и равен [уравнение Следовательно, на поверхности провода, ввиду перпендикулярности векторов

причем, согласно правилу буравчика, направлено по внутренней нормали к поверхности провода (см. рис. 79). Стало быть, в этом случае через внешнюю поверхность проводника энергия втекает, в проводник из окружающего пространства в количестве

где V есть объем рассматриваемого участка проводника (через основания цилиндра энергия не протекает, ибо касательно к этим основаниям). Это количество энергии, как и следовало ожидать, равно джоулеву теплу выделяемому в этом участке за 1 с [уравнение (39.5)].

Итак, в тех участках проводника, в которых Естр выделяемая током тепловая энергия притекает в проводник из окружающего его пространства. В это пространство она должна, очевидно, поступать из тех участков провода, в которых совершается работа сторонних электродвижущих сил. Действительно, если

Естр согласно уравнению (V)

и

Первый член правой части представляет собой, по доказанному, поток энергии, направленный внутрь провода; второй член снабжен отрицательным знаком и имеет поэтому обратное направление (ибо Естр, вообще говоря, параллельно т. е. представляет собой поток энергии, вытекающей из провода через его боковую поверхность. Легко убедиться, что в случае постоянного тока вся эта вытекающая из проводника энергия возвращается в другие участки проводника с тем, чтобы выделиться в них в форме тепла.

4. В случае квазистационарных переменных токов имеют место аналогичные соотношения. Так, например, при выключении источника электродвижущей силы (аккумулятора) из цепи тока в ней продолжает некоторое время циркулировать ток размыкания. Как мы убедились в § 80 (пример 1), выделение джоулева тепла этим током происходит за счет постепенного уменьшения энергии магнитного поля тока, притекающей в проводник из окружающего пространства; при этом уменьшается также и количество магнитной энергии, заключенной внутри проводника.

В § 79 и 80 мы не учитывали изменения энергии окружающего ток электрического поля. В случае квазистационарных токов в замкнутых проводниках энергия эта, вообще говоря, настолько мала по сравнению с магнитной энергией тока, что ею действительно можно пренебречь. Если же в цепь квазистационарного тока включен, например, конденсатор, то запасенная в его поле электрическая энергия оказывается сравнимой с магнитной энергией тока и пренебречь ею становится невозможным (§ 89).

Вообще говоря, можно сказать, что в проводнике, по которому циркулирует ток, происходит, в сущности, превращение электромагнитной энергии в тепло; локализована же эта энергия преимущественно во внешнем окружающем проводник пространстве и поступает в проводник через его внешнюю поверхность. С особенной отчетливостью проявляется это в быстропеременных токах. При очень быстрых изменениях поля его энергия не успевает достигнуть внутренних слоев проводника и подвергается превращению в джоулево тепло лишь в поверхностных слоях

проводника, в которых и сосредоточиваются переменные токи — скин-эффект (§ 90).

5. В заключение заметим, что предположение о равенстве в каждой точке пространства потока энергии электромагнитного поля вектору Пойнтинга в некоторых случаях ведет к следствиям, которые могут показаться лишенными физического смысла. Так, например, в постоянном поле, возбуждаемом неподвижным электрическим зарядом и неподвижным постоянным магнитом, вектор Пойнтинга, вообще говоря, отличен от нуля, причем линии этого вектора замкнуты (либо заполняют собой некоторую поверхность). Таким образом, мы приходим к, казалось бы, бессодержательному представлению о беспрерывной циркуляции энергии по замкнутым путям в статическом электромагнитном поле. Физический смысл этого представления выяснится в § 104.