§ 94. Дифференциальные уравнения для потенциалов электромагнитного поля

1. Убедившись в однозначности максвелловых уравнений, мы должны попытаться найти способ фактического решения этих уравнений. В случае стационарного электромагнитного поля задача эта, как мы видели, существенно облегчается введением вспомогательных величин — потенциалов Теперь мы покажем, что, видоизменив надлежащим образом определение скалярного и векторного потенциалов, можно воспользоваться этими потенциалами для решений уравнений Максвелла и в общем случае переменного поля. При этом мы для простоты предположим, что как диэлектрическая так и магнитная проницаемости одинаковы на всем протяжении полного поля 2) и что поверхностных зарядов и поверхностных токов в поле нет. При этих условиях векторы и их первые производные всюду остаются непрерывными.

В качестве определения вектор-потенциала А мы можем сохранить уравнение (62.10):

из которого в свою очередь, согласно уравнению (42), следует уравнение (III). Внося уравнение (94.1) в уравнение (II), получим

или

Это уравнение будет удовлетворено, если положить

где есть произвольный скаляр, ибо ротор градиента скаляра тождественно равен нулю

На основании уравнений (94.1), (94.2) и (42) уравнение (I)

принимает вид

Распорядившись надлежащим образом величинами можно это уравнение упростить.

Действительно, до сих пор нами были определены только вихрь от А и градиент от теперь же мы можем дополнительно потребовать, чтобы

Образовав градиент от обеих частей этого равенства, убедимся, что два члена предшествующего уравнения взаимно сокращаются, так что оно принимает вид

Из основных уравнений поля нам остается еще удовлетворить уравнению Внося в него уравнение (94.2), получим

Разделив это равенство на и внеся в него значение из уравнения (94.3), получим

или на основании (40)

2. Уравнения дают возможность определить значения скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля по заданному распределению зарядов и токов проводимости; зная же можно с помощью уравнений (94.1) и (94.2)

найти Заметим при этом, что хотя скалярный потенциал как и в случае стационарных полей, зависит лишь от распределения зарядов, а векторный потенциал А — от распределения токов проводимости, однако напряженность электрического поля зависит не только от градиента скалярного потенциала, но и от производной по времени векторного потенциала; в этом обстоятельстве проявляется закон электромагнитной индукции. В случае стационарности поля, когда все производные по времени обращаются в нуль, приведенные уравнения, как и следовало ожидать, принимают вид ранее установленных нами уравнений стационарного поля [ср. соответственно уравнения (94.2), (94.3), (94.4) и (94.5) с уравнениями (10.2), (64.2), (64.3) и (23.1)].

Итак, зная в их зависимости от координат и времени, мы можем определить сначала а затем и Однако, как уже указывалось в § 91 (с. 423), понятие электрического заряда носит в классической теории поля, в сущности, характер вспомогательного термина, обозначающего истоки вектора электрической индукции Иными словами, с точки зрения этой теории, нужно, в сущности, считать функциями искомых величин т. е. в свою очередь величинами искомыми. И действительно, согласно теореме однозначности, для определения значения векторов в любой момент времени достаточно знать начальные значения этих векторов для определив же мы, очевидно, можем вычислить значения величин для любого момента времени и любого места.

Однако фактическое решение этой «полной» задачи, вообще говоря, в высшей степени сложно. Поэтому мы в дальнейшем предположим, что зависимость от координат и времени нам тем или иным способом стала известной для всего пространства В этом случае, пользуясь установленной в этом параграфе системой уравнений, мы действительно можем определить напряженность электромагнитного поля в любой точке пространства и в любой момент времени и притом определить однозначно, если только мы примем во внимание некоторые добавочные условия, о которых будет сказано в § 96.

Основная задача сводится при этом к решению определяющей значения потенциалов системы уравнений (94.3) (94.5), ибо, определив мы найдем простым дифференцированием.

3. Как скалярный потенциал так и каждая из слагающих векторного потенциала в произвольной системе декартовых координат удовлетворяют, согласно уравнениям (94.4) и (94.5), уравнению типа

где есть, по предположению, известная функция координат и времени, а под надо понимать одну из величин

Введя обозначение

можно записать уравнение (94.6) следующим образом:

В дальнейшем мы убедимся, что равно скорости распространения электромагнитных возмущений.

Уравнения типа (94.8) носят название уравнений Даламбера. При уравнение Даламбера принимает вид так называемого волнового уравнения

с которым нам неоднократно придется иметь дело в дальнейшем. Наконец, при независимости от времени (стационарное поле) уравнение Даламбера вырождается в известное нам уравнение Пуассона (11.3)