§ 79. Преобразование энергии в поле переменных токов. Энергия магнитного взаимодействия токов. Правило Ленца

В главах IV и V мы вовсе не касались вопроса об энергии магнитного взаимодействия токов и об энергии магнитного поля вообще. Объясняется это тем, что рассмотрение этого вопроса, к которому мы теперь перейдем, возможно только на основании учета явлений электромагнитной индукции, с которыми мы познакомились лишь в начале этой главы.

1. Рассмотрим индукционное взаимодействие переменных токов с энергетической точки зрения. При этом необходимо учесть следующие превращения энергии: 1) выделение джоулева тепла в цепи токов, 2) работу сторонних электродвижущих сил, 3) механическую работу А пондеромоторных сил магнитного поля, совершаемую при перемещении контуров тока, и, наконец, необходимо, как мы увидим, принять во внимание 4) энергию магнитного взаимодействия токов и учесть изменение этой энергии при изменениях как силы токов так и их взаимной конфигурации.

Рассмотрим изменение всех этих видов энергии, совершающееся за некоторый бесконечно малый элемент времени Начнем

с энергии механической. В § 52 и 65 мы установили, что работа А пондеромоторных сил магнитного поля постоянных токов равна убыли потенциальной функции этих токов U [уравнения (65.5) и (65.8)]:

Таким образом, в случае постоянных токов

где индекс означает, что при определении изменения функции силы токов полагаются постоянными, и где суть изменения коэффициентов индукции за время Но, согласно приведенному в начале этого параграфа определению термина «квазистационарный», силы взаимодействия квазистационарных токов в каждый данный момент времени равны силам взаимодействия постоянных токов той же силы Следовательно, формула (79.1) должна оставаться применимой и в случае квазистационарных токов (конечно, при условии выбора элемента времени столь малым, чтобы сила этих токов за это время оставалась практически постоянной).

Переходим к определению изменения других видов энергии. Из закона Джоуля [уравнение (39.2)] непосредственно следует, что за время в обоих контурах выделяется количество джоулева тепла, равное

Далее, согласно уравнению (39.3), сторонние электродвижущие силы совершают за это время в обоих контурах работу

Если мы, например, предположим, что сторонние электродвижущие силы возбуждаются включенными в контуры гальваническими элементами или аккумуляторами, то будет измерять работу, совершаемую в контурах токов за счет химической энергии этих источников электродвижущей силы. Разумеется, при пользовании последней формулой необходимо определенным образом

выбрать направление положительного обхода каждого из контуров и снабдить величины соответствующими знаками. В зависимости от того, имеют ли, например, и одинаковые или различные знаки (т. е. направления), работа электродвижущей силы будет положительной или отрицательной.

2. Итак, за время должно иметь место увеличение механической энергии (например кинетической энергии движения проводников) на величину А, увеличение тепловой энергии на и уменьшение энергии источников сторонних электродвижущих сил (например, химической энергии аккумуляторов) на величину Таким образом, общее увеличение всех этих видов энергии равно

причем, согласно уравнению (77.2),

Внося это в уравнение (79.2) и выражая и А с помощью уравнения (78.2) и уравнения (79.1), получим

откуда

Таким образом, всякое изменение конфигурации контуров и сил токов в них связано с общим увеличением суммы механической, тепловой и химической энергии на величину На основании закона сохранения энергии мы должны заключить, что эти процессы должны сопровождаться эквивалентным уменьшением некоторого другого вида энергии. Какого именно? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно заметить, что с перемещением проводников и изменением сил циркулирующих в них токов неразрывно связаны (помимо учтенных уже нами механических, тепловых и химических процессов) лишь изменения сил магнитного взаимодействия этих токов. Очевидно, стало быть, что магнитному взаимодействию токов необходимо приписать некоторую определенную энергию и что приращение всех прочих видов энергии должно происходить за счет эквивалентного изменения энергии магнитной:

Следовательно,

Это выражение можно записать также следующим образом:

Ясно, что магнитная энергия системы не двух, а произвольного числа токов выразится формулой такого же вида, в которой, однако, индексы и к будут пробегать все значения от 1 до

3. Сравнивая уравнение (79.6) с уравнением (65.8), получаем

Следовательно, магнитная энергия токов равна взятой с обратным знаком потенциальной функции этих токов Таким образом, мы вновь убеждаемся, что эта потенциальная функция, как уже нами неоднократно подчеркивалось, вовсе не равна (потенциальной) энергии токов.

В уравнении (79.7) с особой ясностью проявляется то обстоятельство, что смысл величин и совершенно различен. Действительно, по определению функции убыль ее равняется механической работе А, совершаемой пондеромоторными силами магнитного поля; при этом при определении убыли — по формуле (79.1) силу токов нужно полагать постоянной. Между тем убыль магнитной энергии равна сумме приращений всех прочих видов энергии, а не только энергии механической, так что при определении убыли — по формуле (79.4) нужно учитывать и изменение силы токов. Поэтому нельзя было бы ожидать никакого простого соотношения между величинами однако, как показывает формула (79.7), такое соотношение в действительности существует.

В случае постоянных токов в неподвижных проводниках, очевидно, равны нулю как механическая работа А, так и изменение магнитной энергии В этом случае также согласно (79.3), т. е. работа сторонних сил целиком переходит в тепло.

Механическая же работа А может совершаться лишь при перемещении проводников, которое в свою очередь связано с появлением электродвижущих сил индукции, т. е. с нарушением равенства между выделенной теплотой и работой сторонних

электродвижущих сил. Избыточная (по сравнению с выделением тепла) затрата энергии источников этих электродвижущих сил (например химической энергии аккумуляторов) оказывается при этом достаточной не только для совершения механической работы А, но и для увеличения магнитной энергии

Действительно, из (79.4) и (79.2) следует:

что можно записать в следующей форме:

4. Предположим в качестве примера, что при перемещении контуров сила токов в этих контурах поддерживается постоянной путем непрерывного изменения сторонних электродвижущих сил, компенсирующего влияние индукции. В этом гипотетическом случае вытекающее из уравнений (79.1) и (79.7) соотношение

примет вид

где есть полное изменение магнитной энергии во время движения, ибо, по условию, Иными словами, механическая работа А будет равна приращению магнитной энергии, и

С другой стороны, так как, по условию, силы токов остаются постоянными во время движения, то и количество выделяемой теплоты остается постоянным. Стало быть, во время движения работа сторонних электродвижущих сил должна возрасти на (положительную или отрицательную) величину причем половина ее будет идти на увеличение магнитной энергии Это возрастание работы объясняется тем, что для поддержания постоянства сил токов во время движения необходимо изменить сторонние электродвижущие силы так, чтобы компенсировать влияние электродвижущих сил индукции.

Заметим, что перемещение контуров тока при условии с энергетической точки зрения вполне аналогично перемещению обкладок конденсатора при условии В последнем случае работа пондеромоторных сил электрического поля тоже равна приращению энергии этого поля:

причем как работа А, так и приращение электрической энергии совершаются за счет работы (сторонних) электродвижущих сил, поддерживающих постоянство разности потенциалов обкладок конденсатора (см. § 18).

Конечно, в действительности при движении проводников остаются постоянными в большинстве случаев не силы токов в них, а сторонние электродвижущие силы; сила же токов изменяется, что значительно усложняет явление.

5. Рассмотрим в заключение превращения энергии в контуре к которому не приложены сторонние электродвижущие силы и который перемещается в постоянном магнитном поле, например в поле постоянного тока Если при этом остается постоянным, то электродвижущая сила индукции в этом контуре выразится формулой (78.4). Помножая формулу (77.2) на получаем

С другой стороны, из уравнения (79.1) ввиду предполагаемой неподвижности контура получаем

Следовательно,

Если в начале движения тока в проводнике не было, то Далее, суть величины существенно положительные и, стало быть, Следовательно, пондеромоторные силы магнитного поля совершают при движении проводника отрицательную работу, т. е. противодействуют этому движению. Отсюда вытекает так называемое правило Ленца: индукционные токи, возникающие в проводнике при движении его в постоянном магнитном поле, направлены так, что испытываемые этими токами пондеромоторные силы магнитного поля противодействуют движению проводника.