§ 44. Переход от линейных токов к токам конечного сечения

1. В предыдущих параграфах мы рассматривали элементы линейных токов. Очевидно, что при определении возбуждаемого током поля можно считать линейными те токи, размеры любого сечения которых достаточно малы по сравнению с расстоянием от этого сечения до рассматриваемых точек поля Разумеется,

ток может удовлетворять этому условию линейности лишь в том случае, если мы ограничиваемся рассмотрением достаточно удаленных от него точек поля. При определении же пондеромоторных сил, испытываемых током во внешнем магнитном поле ток этот можно считать линейным в том случае, если поле не изменяется сколько-нибудь значительно на протяжении любого сечения тока.

Таким образом, формулы § 42, 43 применимы лишь в случае выполнения перечисленных условий. Так, например, при определяемая формулой (42.2) напряженность поля стремится к бесконечности, т. е. теряет смысл.

Однако достаточно незначительных преобразований формул § 42, 43, чтобы сделать их применимыми при произвольном и при произвольно быстро изменяющейся от точки к точке напряженности внешнего поля Для этого достаточно воспользоваться тем, что, согласно § 37, ток конечного сечения может быть разложен на совокупность бесконечно тонких нитей тока, и применить формулы § 42 к элементам этих нитей.

Сила тока протекающего по нити тока, согласно уравнению (36.2), равна

где плотность тока, перпендикулярное к оси сечение нити. Стало быть,

где длина, объем бесконечно малого отрезка нити. Так как, наконец, ось нити тока, по определению, совпадает с линиями тока, то параллельно и

Таким образом, элемент длины каждой нити тока, совокупность которых образует ток конечного сечения эквивалентен элементу объема этого тока

Поэтому напряженность поля элемента объема тока на основании (42.2) и (44.1) равна

Общая же напряженность магнитного поля всего замкнутого тока будет равняться сумме напряженностей полей, создаваемых его отдельными элементами:

где интегрирование должно быть распространено на весь объем тока (т. е. на объем обтекаемых током проводников), есть расстояние рассматриваемой точки поля от элемента тока

Конечно, в случае линейных токов эта последняя формула совпадает с формулой (42.4).

Совершенно аналогичным путем, применив уравнение (42.1) к элементу нити тока объема и воспользовавшись уравнением (44.1), получим, что пондеромоторная сила, испытываемая элементом объема проводника по которому протекает ток плотности равна

где есть напряженность магнитного поля в элементе Иными словами, объемная плотность пондеромоторных сил равна

2. В дальнейшем нам неоднократно придется переходить от рассмотрения линейных токов к токам конечного сечения и обратно. Как явствует из изложенного, в частности, из сравнения (42.4) с (44.3), переход этот всегда эквивалентен замене интегрирования по длине линейного тока интегрированием по объему тока конечного сечения:

где может быть любой скалярной или векторной функцией точки. Если ток удовлетворяет условиям линейности, перечисленным в начале этого параграфа, то оба выражения в формуле (44.6) равносильны друг другу; в противном же случае они различны по своему содержанию, причем физический смысл имеет только объемный интеграл.

Заметим также, что в случае разветвленного контура тока только правая часть (44.6) сохраняет свой вид, тогда как в левой части необходимо учесть, что сила тока в различных участках его цепи может быть различной.

Соотношение (44.6) можно условно записать в форме, соответствующей уравнению (44.1), заменив в последнем на

Однако соотношение (44.7), в сущности, приобретает смысл лишь по выполнении слева интегрирования по а справа по как это явно указывается в (44.6).

3. Формулы (44.3) и (44.4) применимы, очевидно, во всех точках поля постоянных токов. В частности, определяемая ими напряженность поля в отличие от уравнений (42.2) и (42.4) всюду сохраняет конечное значение (если, разумеется, плотность тока

всюду конечна, как это следует из элементарных физических соображений).

Для точек поля, лежащих вне токов это очевидно Чтобы убедиться в конечности поля внутри токов, рассмотрим произвольную точку лежащую внутри несущего ток проводника, и опишем вокруг нее сферу V малого, но все же конечного радиуса Поле, создаваемое в точками, находящимися вне сферы V, конечно, ибо эти токи находятся от на конечном расстоянии, большем Стало быть, нам достаточно убедиться в конечности поля создаваемого токами, находящимися внутри сферы Из уравнения (44.3) следует:

где суть абсолютные величины соответствующих векторов, а интегрирование распространено по объему сферы Но

где обозначает максимальное значение плотности тока внутри сферы Стало быть,

Введя сферические координаты и а с центром в получим

и

Таким образом, есть величина конечная, стремящаяся к нулю при уменьшении радиуса сферы что и требовалось доказать.

Нетрудно также доказать непрерывность вектора т. е. доказать, что разность значений вектора в смежных точках поля стремится к нулю, если расстояние стремится к нулю.

Пусть обе точки лежат внутри сферы При переходе из поле токов, лежащих вне V, изменяется непрерывно, ибо токи эти находятся на конечном расстоянии от Что же касается поля токов, лежащих внутри V, то напряженность этого поля, по доказанному, меньше стало быть, и изменение при переходе от к не может быть больше этого значения. Если стремится к нулю, то может быть выбрано сколь угодно малым, откуда и следует непрерывность вектора

Задача 29. По бесконечному прямому полому круговому цилиндру протекает параллельно оси цилиндра постоянный ток, равномерно распределенный по его поверхности. Показать, что поле тока внутри цилиндра равно нулю.