§ 50. Пондеромоторные силы, испытываемые в магнитном поле замкнутым током. Потенциальная функция тока во внешнем магнитном поле

1. При определении механических сил, испытываемых замкнутым током во внешнем магнитном поле, ограничимся сначала тем случаем, когда это поле не изменяется сколько-нибудь существенно на протяжении любого сечения тока так что ток этот можно считать линейным

Поставим себе прежде всего задачу определить работу, совершаемую пондеромоторными силами магнитного поля при произвольном перемещении контура тока Перемещение это, вообще говоря, может быть связано с деформацией контура тока.

Пусть каждый элемент контура тока испытывает некоторое произвольное бесконечно малое перемещение конечно, не нарушающее связности контура (рис. 50), причем сила тока остается при этом перемещении постоянной (виртуальное перемещение). Работа, совершаемая силами магнитного поля при этом перемещении элемента будет, согласно уравнению (44.4), равна

общая же работа связанная с перемещением всех элементов контура тока, будет равна

но

где есть элемент площади, описанный элементом контура при его перемещении (рис. 50), причем порядок сомножителей в выражении для выбран так, что направление вектора (т. е. направление положительной нормали к

Рис. 50

элементу образует с направлением тока в контуре правовинтовую систему. Стало быть,

где интегрирование должно быть распространено по всем элементам поверхности А, описанной контуром тока при перемещении его точек на расстояние в положение

Обозначим через поток магнитного вектора, или, выражаясь короче, магнитный поток через контур тока через произвольную поверхность опирающуюся на этот контур):

где есть положительная нормаль к образующая с направлением тока правовинтовую систему. Этот поток зависит лишь от расположения контура но не от формы поверхности ибо, согласно уравнениям (46.2) и (27,

Таким образом, магнитный поток через контур равен циркуляции вектор-потенциала А по этому контуру.

Пользуясь обозначением (50.1), можем написать

ибо изменение магнитного потока через контур тока равно, очевидно, магнитному потоку через поверхность А, описанную контуром при его перемещении. Стало быть,

Таким образом, мы приходим к следующему весьма простому результату: работа пондеромоторных сил магнитного поля при произвольном перемещении тока равна умноженному на изменению магнитного потока через контур этого тока. Значит, в частности, такие перемещения тока, при которых магнитный поток через его контур не испытывает изменения, не связаны с работой магнитного поля.

2. Если ввести обозначение:

то уравнение (50.3) примет вид

где индекс при означает, что при определении приращения функции силу токов нужно считать постоянной.

Следовательно, работа пондеромоторных сил магнитного поля равна убыли функции которая, таким образом, играет роль потенциальной или силовой функции тока в магнитном поле. В частности, путем обычных в аналитической механике способов рассуждения легко убедиться, исходя из уравнения (50.5), что если функция выражена в зависимости от каких-либо «обобщенных» координат характеризующих положение контура тока, то «обобщенная» (в смысле аналитической механики) пондеромоторная сила действующая на ток по направлению какой-либо из этих координат будет равна

Эти свойства потенциальной или силовой функции могут побудить отождествить ее с потенциальной энергией магнитного поля. Однако такое заключение было бы неосновательным, ибо, как мы убедимся в следующей главе, перемещения проводника в магнитном поле сопровождаются не только работой пондеромоторных сил этого поля, но также и работой сил электродвижущих, индуцируемых полем в движущемся проводнике; ввиду этого изменение энергии магнитного поля при перемещении проводников нельзя определить по работе одних только пондеромоторных сил поля.

Поэтому, если мы иногда и будем для краткости называть потенциальной «энергией», то лишь в том смысле, что пондеромоторные силы магнитного поля связаны с той же зависимостью, с какой силы консервативного поля сил связаны с потенциальной энергией этого поля.

Хотя потенциальная силовая функция и не равна энергии магнитного поля, тем не менее введением в рассмотрение этой функции значительно облегчается изучение пондеромоторных сил, действующих в магнитном поле на замкнутые токи, ибо устраняется необходимость в каждом отдельном случае производить сложное суммирование сил, действующих на отдельные элементы тока.

В частности, исходя из уравнений (50.5) и (50.6), путем обычных, хорошо известных рассуждений легко убедиться, что устойчивое равновесие контура постоянного тока соответствует минимуму потенциальной функции согласно уравнению (50.4), максимуму магнитного потока

3. Формулы, полученные нами для токов линейных, легко обобщить на случай токов объемных, т. е. на тот случай, когда

нельзя пренебречь изменением напряженности магнитного поля на протяжении сечения тока. С этой целью внесем сначала (50.2) в уравнение (50.4):

а затем выполним в полученном уравнении переход к объемным токам, согласно формуле (44.6):

Это и является искомым представлением формулы (50.4).

Два последних уравнения можно истолковать в том смысле всеми только что сделанными оговорками), что каждый элемент тока обладает в магнитном поле потенциальной «энергией» (или — и что потенциальная функция замкнутого тока равна сумме «энергий» отдельных его элементов.

Пример. Рамка в однородном магнитном поле. Рассмотрим произвольный плоский контур (рамку) площади обтекаемый током силы Пусть эта рамка помещена в однородное магнитное поле и закреплена так, что может вращаться около оси, перпендикулярной полю (рис. 51).

Рис. 51

Пусть есть угол между и положительной нормалью к рамке т. е. нормалью, образующей с направлением тока в рамке правовинтовую систему. Тогда магнитный поток через рамку будет равен а потенциальная функция рамки будет равна

Обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате как известно (см. пример в § 18), есть не что иное, как момент приложенных к рамке сил, стремящийся повернуть рамку около оси вращения:

Положения равновесия рамки соответствуют т. е. Первое из этих положений соответствует минимуму, второе — максимуму потенциальной функции стало быть, лишь первое положение равновесия является устойчивым. Отсюда следует, что пондеромоторные силы магнитного поля стремятся повернуть плоскость тока так, чтобы положительная нормаль

к ней совпала с направлением магнитного поля В частности, два взаимодействующих контура тока будут стремиться установиться так, чтобы плоскости их были параллельны друг другу, а направление обоих токов было одинаково.